PDF《带有状态约束的双摆效应吊车轨迹规划》

第3节将给出轨迹规划及分析的具体过程;

第4节将进行仿真与分析, 并与已有方法进行对比;

第5节将对全文工作进行总结与展望.

2 问问问题 题 题描 描 描述 述述(Problem statement) 具有双摆效应的桥式吊车模型如图1所示, 其动态 特性可用如下方程描述: (m + m1 + m2)¨ x + (m1 + m2)l1(cos θ1 ¨ θ1 ? B θ2

1 sin θ1) + m2l2 ¨ θ2 cos θ2 ? m2l2 B θ2

2 sin θ2 = F, (1) (m1 + m2)l1 cos θ1 ¨ x + (m1 + m2)l2

1 ¨ θ1 + m2l1l2 cos(θ1 ? θ2)¨ θ2 + m2l1l2 sin(θ1 ? θ2) B θ2

2 + (m1 + m2)gl1 sin θ1 = 0, (2) m2l2 cos θ2 ¨ x + m2l1l2 cos(θ1 ? θ2)¨ θ1 + m2l2

2 ¨ θ2 ? m2l1l2 B θ2

1 sin(θ1 ? θ2) + m2gl2 sin θ2 = 0, (3) 式中: x(t), θ1(t), θ2(t)分别表示台车位移、 吊钩摆 角(第1级摆角)以及负载绕吊钩的摆角(第2级摆角);

m, m1, m2分别表示台车、 吊钩及负载的质量;

l1, l2分别表示吊绳长度及负载重心到吊钩重心的距离;

F(t)表示作用在台车上的驱动力. 图1具有双摆效应的吊车模型示意图 Fig.

1 Schematic illustration for the crane model with double-pendulum effects 对式(2)两边除以(m1 + m2)l1, 同时对式(3)两边 除以m2l2, 并整理可得

1 加加速度反应了加速度的变化率, 其取值较大时, 不仅会导致规划的轨迹难以被跟踪, 还易激发系统震荡.

976 控制理论与应用第31 卷cos θ1 ¨ x + l1 ¨ θ1 + m2l2 m1 + m2 cos(θ1 ? θ2)¨ θ2 + m2l2 m1 + m2 sin(θ1 ? θ2) B θ2

2 + g sin θ1 = 0, (4) cos θ2 ¨ x + l1 cos(θ1 ? θ2)¨ θ1 + l2 ¨ θ2 ? l1 B θ2

1 sin(θ1 ? θ2) + g sin θ2 = 0. (5) 方程(4)?(5)描述了台车运动x(t)与系统的两级摆动 θ1(t), θ2(t)之间的动态耦合关系, 即台车的运动会对 系统的两级摆动产生何种影响. 对于全驱动机电系统 而言, 如机器人关节的控制, 可方便地为每个关节的 运动规划合理的轨迹, 且能在兼顾各种物理约束, 如 最大速度、 最大加速度等的同时, 实现高精度、 平滑的 控制效果. 然而, 由于双摆吊车系统的强欠驱动特性, 仅能为台车进行运动规划, 而无法直接为两级摆动 θ1(t)与θ2(t)进行规划;

因此, 在对台车运行轨迹进行 规划时, 必须充分利用耦合关系(4)?(5), 使θ1(t), θ2(t)满足相应的约束, 实现定位与消摆的双重控制任 务. 考虑到实际吊车系统的安全性、 工作效率及物理 约束, 本文将针对具有双摆效应的欠驱动吊车系统规 划一条具有解析表达式的台车轨迹, 具体要实现的控 制目标如下. 1) 台车在时间T内到达并停止在目标位置pd处, 且在整个运行过程中, 台车最大速度、 加速度及加加 速度应始终保持在允许的范围内, 即x(0) = B x(0) = ¨ x(0) = x(3) (0) = 0, (6) x(T) = pd, B x(T) = ¨ x(T) = x(3) (T) = 0, (7) | B x(t)| vmax, |¨ x(t)| amax, |x(3) (t)| jmax, (8) 式中vmax, amax, jmax ∈ R+ 分别表示由执行器的能 力所决定的台车最大速度/加速度/加加速度上限值. 2) 在整个运行过程中, 吊车系统的两级摆动 θ1(t), θ2(t)及其角速度 B θ1(t), B θ2(t)始终保持在合理的 范围内, 且当台车到达目标位置后无残余摆动, 即θ1(0) = θ2(0) = 0, B θ1(0) = B θ2(0) = 0, (9) θ1(T) = θ2(T) = 0, B θ1(T) = B θ2(T) = 0, (10) |θ1(t)| θ1 max, |θ2(t)| θ2 max, (11) | B θ1(t)| ω1 max, | B θ2(t)| ω2 max, (12) 其中θ1 max, θ2 max, ω1 max, ω2 max ∈ R+ 分别为系统 的两级摆动θ1(t), θ2(t)及相应角速度 B θ1(t), B θ2(t)的幅 值上限.