PDF《量子算法与量子计算实验》

1 纠缠 ,EPR 佯谬与 Bell 不等式 纠缠是量子力学最重要的特征之一 ,同时也是进行量子计算最有效的资源.1935 年,Schr dinger[6 ] 首先给出了纠缠态的定义 :由空间分离的两个子系统构成的纯态 ,如果 系统波函数不能分解为两个子系统波函数的乘积 ,那么这样的波函数表示的态称作两个 粒子的纠缠量子态.

1935 年,Einstein ,Podolsky 和Rosen[7 ] [简称 EPR ]首先讨论了一个具体的两粒子纠 缠量子态.在这个著名的思想实验中 ,两粒子的纠缠量子态为 : Ψ >

= ∑ a , b δ( a + b - c0) a >

b >

(1) 其中 a , b 分别为粒子

1 和粒子

2 的位置或动量 , C0 为常数.这个纠缠态的一个最明显 的特征是 :其中任何一个子系统的物理量的观测值(位置或动量) 都是不确定的.但是 ,如 果其中的一个子系统的物理量的观测值处于一个确定的值 ,那么我们可以百分之百地确 定另外一个子系统的相应物理量的观测值. EPR 的思想实验本质上可以约化为自旋为 1/

2 的粒子

1 和自旋为 1/

2 的粒子

2 构成 的量子系统.| ↑>

代表自旋向上 ,而| ↓>

代表自旋向下.初始时刻两粒子处于单重态 , 然后向相反的方向自由地传播. ψ( t = 0)1 ↓ >

2 >

- ↓ >

1 ↑ >

2) /

2 (2) 这个量子态的一个明显特性就是它是纠缠的.如果我们应用 SternΟGerlach 装置分 别在 ^ n1 和^n2 方向对粒子

1 和粒子

2 进行测量 ,那么 ,根据量子力学 ,测量结果乘积的期 望值为 E ψ ( ^ n1 , ^ n2) ≡<

ψ ( ^ σ

1 ・^ n1) ( ^ σ

2 ・^ n2) ψ >

= - ^ n1 ・^ n2 (3) 其中 , ^ n1 = ^ n2 代表两粒子完全关联 ,其它情况代表统计关联.在完全关联的情况下 ,如果 粒子

1 的自旋向上 ,那么粒子

2 的自旋向下 ;

反之亦然.然而 , EPR 认为 ,量子力学对这 两个粒子纠缠态的描述是不完备的.根据 EPR 的观点 ,有四个前提可以推导出量子力学 的不完备.其中第一个来源于量子力学 ,其它三个则是关于局域性 ,现实性和完备性的合 理假设. (A) 完全关联 :如果对粒子

1 和粒子

2 沿着相同的方向进行测量 ,那么粒子

1 和粒子

2 的自旋方向完全相反.

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1 物理学进展21 卷(B) 局域性 : 由于在测量过程中没有相互作用的发生 ,因此 ,对其中一个粒子的测量 不会引起另外一个粒子的任何改变. (C) 实在性 : 假如在没有干扰一个系统的条件下 ,我们能够准确地预言这个系统物 理量的期望值(几率为 1) ,那么必然存在一个客观的实在与这个物理量相对应. (D) 完备性 : 在一个完备的物理理论中 ,客观现实的每一个元素都存在一个相应的 描述. EPR 的结论可以推导如下 :由于完全的关联 (A) ,因此 ,对粒子

1 的测量可以准确地 知道粒子

2 的自旋 ;

而由(B) 可以知道 ,对粒子

1 的测量没有对粒子

2 产生任何影响 ;

再由 (C) 可以知道 ,粒子

2 的自旋分量是一个客观的实在元素.由于对粒子

1 的测量可以在 任意方向 ,因而 ,粒子

2 的任意自旋分量也是一个客观的实在元素.然而 ,在量子力学中 , 是否不存在这样一个描述自旋为

1 和2系统的量子态 ,所有的自旋分量都有确定的值. 因此 ,由(D) 可以知道 ,量子力学的描述是不完备的.至少对这样的纠缠态的描述是不完 备的.单个量子系统可以有其本身的特性 ,但是对于一个系综来说 ,系综的量子态仅仅能 给出它们的统计描述.因而 ,量子力学需要其它的 隐变量 来对量子系综给予完全的描 述. 随后 ,人们也一直试图发现一个隐变量理论[8 ,9 ] 来描述量子力学.但是 ,在1964 年,Bell[10 ] 发现 ,在某些条件下 ,隐变量理论与量子力学给出不同的预言.在考虑隐变量的条 件下 ,Bell[10 ] 提出了一个著名的不等式 ,这个不等式可以用来检验隐含变量理论和量子力 学统计预言的正确性.应用这个不等式 ,Bell 指出 ,对于两粒子纠缠态的统计关联 , EPR 的观点和量子力学的解释存在一个矛盾 ,量子力学的统计预言将与这一不等式相违背. 在Bell 的理论中 ,假设存在描述这一对粒子的完备态 ,用λ表示所有的客观实在的 元素.那么 ,根据 EPR 的四个前提 , ^ n1 和λ确定了粒子