PDF《第28 卷第 4 期》

收修改稿日期: 2010?06?18. 基金项目: 国家杰出青年科学基金资助项目(70825002).

468 控制理论与应用第28 卷 破产概率最小化和终端财富期望效用最大化的最 优投资策略与最优值函数的解析式. Hipp和Plum[9] 通过求解HJB方程, 得到了使破产概率最小化的最 优投资策略, 证明了最优值函数的存在性并给出了 验证定理. Yang和Zhang[10] 及Wang等[11] 均假设风险 过程为带扩散扰动的C-L模型, 允许保险公司将盈 余投资到无风险资产和一种价格由几何布朗运动 驱动的风险资产上. 前者采用HJB方法得到了不同 目标下最优投资策略的解析式;

后者采用鞅方法 求解了终端财富的期望效用最大化及均值C方差优 化问题. Kostadinova[12] 研究了Value-at-Risk (VaR)约 束下保险公司终端财富期望效用最大化问题. 郭 文旌[13] 研究了Capital-at-Risk (CaR)限制下保险公 司的最优投资策略, 利用最大值原理求解了相应 的优化问题. Schmidli[14] , Irgens和Paulsen[15] , Xu[16] 与Luo等[17] 研究了保险公司的最优再保险C投资策 略, 他们把再保险的自留水平与投资在风险资产 上的资金额(比例)作为控制变量. 其中, Schmidli[14] 与Luo等[17] 以破产概率最小化为目标且所投资风险 资产的价格由几何布朗运动驱动, 前者利用HJB方 法证明了最优值函数的存在性并给出了验证定理, 后者利用HJB方法得到了最优值函数与最优策略的 解析式;

Irgens和Paulsen[15] 与Xu[16] 的目标是最大化 终端财富的期望效用. 以往这方面文献中衡量最优策略的准则主要 有3类: 1) 终端财富期望效用最大化准则;

2) 破产概 率最小化准则;

3) 均值C方差准则. 然而采用这3类准 则衡量保险公司的最优策略各存在一些不足: 终端 财富期望效用最大化准则不能体现风险的大小, 甚 至对于某些特殊效用函数(如指数效用函数), 得到 的最优投资策略与承保过程无任何关系, 这与实际 不符;

破产概率最小化准则只强调风险而不考虑收 益, 这与保险公司投资的本意不符;

均值C方差准则 虽能直观体现收益与风险的大小, 但它把高于期望 收益的收益部分也当作风险, 这并非保险公司所期 望的. 为弥补这些不足, 近年来学者们提出了一些 新的风险度量方法, 如VaR[18] , Conditional Value-at- Risk (CVaR)[19] , Earnings-at-Risk (EaR)[20] , CaR[21] 等. 其中, VaR因巴塞尔协议而被广泛应用于理论研究 与金融实践. 然而与VaR相比, CaR更适合对风险重 视程度相对较高的投资者(或投资机构), 如保险公 司(具体分析可参见文献[13]). Kostadinova[12] 与郭文 旌[13] 虽分别以VaR与CaR作为风险测度研究了保险 公司的最优投资策略, 但他们都没有考虑再保险. 本文研究了保险公司在整体风险(包括承保业务 风险与投资业务风险)受约束时的最优比例再保险C 投资策略. 假设保险公司既可购买比例再保险(或获 取新业务), 又可投资无风险资产与多种风险资产;

风险过程由扩散模型刻画, 风险资产的价格过程由 几何布朗运动刻画;

以最大化保险公司终端盈余的 期望为目标, 以CaR约束为风险控制手段. 据此, 笔 者建立了两种均值--CaR模型. 通过将原问题转化 为两层优化问题, 利用变分法求得了最优比例再保 险C投资策略以及有效边界的解析式.

2 基基基本 本 本假 假 假设 设设(Basic assumption) 给定满足通常条件的赋流完备概率空间(?, F, {Ft}0 t T , P), 其中T <