PDF《第28 卷第 4 期》

+∞为时间水平, F0 = {?, ?}, FT = F, Ft表示到时刻t为止所获得的信 息总和. 时刻t的决策基于信息流Ft. 根据C-L模型, 保险公司的盈余过程可表示为 Rt = R0 + pt ? Nt i=1 Yi, (1) 其中: {Nt}0 t T 是定义在(?, F, {Ft}0 t T , P)上 强度为β的时齐泊松过程, Nt表示时刻0到时刻t索 赔发生的次数;

{Yi, i = 1, 2,是独立同分布正 随机变量, Yi表示第i次索赔的大小, 其分布函数设 为F, 并具有有限的一阶矩与二阶矩?∞, σ2 ∞;

假设 保费率按期望值原理计算, 即p = (1 + η)β?∞, 其中η为保险公司的相对安全附加系数. 根据文献[22], 式(1)可近似为如下扩散模型: dRt = ?dt + σ0dw(t), (2) 其中: ? = ηβ?∞, σ2

0 = βσ2 ∞, {w(t)}0 t T 为定义 在(?, F, {Ft}0 t T , P)上的一维标准布朗运动. 假设在任意时刻保险公司可购买比例再保险(或 获取新业务). 记在时刻t保险公司的风险暴露水平 为a(t) ∈ [0, +∞). 当a(t) ∈ [0, 1]时, a(t)表示保险 公司购买比例再保险的自留水平, 即在时刻t, 保 险公司需向再保险公司支付保费λ(1 ? a(t)), 其中λ表示再保险费用率(这里假定λ ?, 否则会产 生套利), 同时当时刻t发生索赔时, 保险公司只需 支付索赔额的100a(t)%, 再保险公司支付索赔额 的100(1 ? a(t))%;

当a(t) ∈ (1, +∞) 时, a(t)表示 保险公司获得新业务(如作为再保险公司吸收再保 险业务)水平. 因此在购买比例再保险(或获取新业 务)时, 保险公司盈余过程可近似为如下扩散模型: dRt = [? ? λ + λa(t)]dt + σ0a(t)dw(t). (3) 进一步假设保险公司可将其盈余投资到无风险 资产与m种风险资产上, 其中无风险资产的价格过 程S0(t), t ∈ [0, T]可用如下微分方程表示: dS0(t) = r0(t)S0(t)dt, S0(0) = s0, (4) 其中r0(t)为非负有界确定性函数, 表示时刻t的无风 险资产收益率. 第i (i = 1, 2,m)种风险资产的 第4期曾燕等: 风险资本约束下保险公司的最优比例再保险C投资策略

469 价格过程Si(t), t ∈ [0, T]表示为 ? ? ? ? ? dSi(t) Si(t) = [ri(t)dt + n j=1 σij(t)dwj(t)], Si(0) = si, (5) 其中: m n;

ri(t), σij(t)为非负有界确定性函数;

wj(t), j = 1, 2,n是(?, F, {Ft}0 t T , P)上相 互独立的一维标准布朗运动, 且与w(t)相互独立. 设时刻 t 投资到第 i 种风险资产上的资金额为 bi(t), i = 1, 2,m, 则投资到无风险资产上的资 金为Xt ? m i=1 bi(t), 其中Xt表示时刻t保险公司的盈 余. 记r(t) = (r1(t) ? r0(t), r2(t) ? r0(t) rm(t) ? r0(t)) , b(t) = (b1(t), b2(t)bm(t)) , w(t) = (w1(t), w2(t)wn(t)) , σ(t)=(σij(t))m*n, i=1, 2,m, j =1, 2,n. π = {(a(t), b(t)),

0 t T}称为比例再保险C投资 策略. 为了便于求解, 类似于文献[20?24], 本文假定 a(t)和b(t)均为定义在[0, T]上的有界确定性Borel可 测函数. 当策略π被选定时, 记时刻t的盈余为Xπ t , 则 保险公司在购买比例再保险(或获取新业务)与投资 时, 其盈余过程可表示为: ?t ∈ [0, T], dXπ t = [? ? λ + λa(t) + r0(t)Xπ t + b (t)r(t)]dt + σ0a(t)dw(t) + b (t)σ(t)dw(t), X0 = x. (6) 根据It? o公式, 由式(6)可知 Xπ T = ξT (x + AT + BT + T

0 ξ?1 s σ0a(s)dw(s) + T

0 ξ?1 s b (s)σ(s)dw(s)), (7) EXπ T = ξT (x + AT + BT ), (8) VarXπ T = ξ2 T CT , (9) 其中: Σ(t) = σ(t)σ (t), ξt = exp( t

0 r0(s)ds), AT = T

0 ξ?1 s [? ? λ]ds, BT = T

0 ξ?1 s [λa(s) + b (s)r(s)]ds, CT = T

0 ξ?2 s [σ2 0a2 (s) + b (s)Σ(s)bπ(s)]ds. 文中假定存在κ >

0, 对?t ∈ [0, T], Σ(t) κI, I为 单位矩阵. 策略π = {(a(t), b(t)),