PDF《我有 95%信心說 98 学测數学第 9 题得分了吗？》

1 就是 0,故选项(3)是错误的. p p p p p 95% 0.5 p >

p p 0.5 p >

论点 B: 「95%的信心水准下所得的信赖区间」的意义指的是每抽样一次,均会得到一个抽 样居民中过该产品者占总抽样居民中的百分比 ? p 与信赖区间,抽样足够多次 后,有95%的信赖区间会包含 ,用机率的语言,即p????(1 ) (1 ) ? ? ( [

2 ,

2 ]) 0.9 p p p p P p p p n n ? ? ∈ ? + =

5

(一) 根陨闲鹗鲇胩庖狻冈95%的信心水准之下,该产品在甲、乙地知名度的信赖 区间分别为 、[ 」 ,可推得甲地全体居民中过某项产品者占 当地全体居民之百分比 落在 0.50 和0.58 间的机率是 95%,用机率的语言来说, 即 ,故可推得 的机率会大於 95%,得选项(3)是正 确的. [0

50 0 58] . , .

0 08

0 16] . , . p ( [0.50,0.58]) 0.95 P p∈ = 0.50 p >

欲讨论这两个论点何者正确,需先讨论何谓信赖区间.在此尝试以一生活 中的游戏说明信赖区间与信心水准的涵意.台湾夜市常见一种套环的游戏(如 图一) ,老板会提供玩家几个环,玩家可选择一个目标,例如图中的小熊玩偶, 用这几个环来套这个小熊玩偶,只要小熊玩偶在这个环里面,不管是在这个环 的正中间,或是靠近环的右边,都可以拿到这个小熊玩偶,但是若小熊玩偶不 在环里面,就不能得到小熊玩偶了.抽样一次,就好像丢一个环,这次抽样所 图一 得的信赖区间,就是这个环的区域,如果这一个环套到小熊玩偶,表示这次抽样所得的信 赖区间包含真正的 ,但也有可能这一个环没有套到小熊玩偶,即这次抽样所得的信赖区 间并没有包含真正的 .丢环之前,小熊玩偶的位置并不会改变,就像真正的 是个定值, 丢过之后,环是否有套住小熊玩偶,已经是个确定的事实.但若投掷足够多次,大约有 95% 个环会套住小熊玩偶,这就是 95%信心水准的意义,但并不是说每投一个环,有95%的机 率套住了小熊玩偶,或说小熊玩偶落在这个环内的机率是 95%.如果读者有兴趣,可参考 Howell(2007) Statistical Method for Psychology 6th edition 中对信心水准的说明. p p p 现在来说明论点 A 与论点 B 何者正确,假设甲地的总人口数为 10,000 人, 为甲地 全体居民中过某项产品者占当地全体居民之百分比.当使用简单随机抽样由其中选出

130 位参访者时,会有 种简单随机抽样,而每种的机率都是 p

10000 130 C

10000 130

1 C ,当询问每种抽样 选出的

130 位参访者,可求得过该产品者占

130 位参访者的比例,则该比例的值(即?p)可能是

0 130 、

1 130 、…、

130 130 ,再根帽壤闹档贸銎湫爬登,最多会有

131 类.每个 值(信赖区间)发生的机率均可以 ? p 表示,例如 ? p =

1 130 的机率为

10000 (1 )

10000 1

129 10000

130 p p C C C * ? * + .此 题所谓「95%信心水准之下信赖区间」指的是这 种简单随机抽样所得出的信赖区间中 大约有 95%的区间会包括未知的定数 ,即式

(一).但式

(一)中的

10000 130 C p ? p 是一个随机的量,而 是某个抽样所得的信赖区间,为这 个信赖区间中的一个,此区间可能包含 未知的 ,亦可能不包含 ,虽然我们不知道究竟包含抑或不包含,但总是一确定事实. 用机率的语言来说,即或,这是使用「信心」一辞的原因,就像前 述游戏中每丢一个环,这个环可能套住小熊玩偶,亦可能没套住小熊玩偶.因此在解读信 赖区间时,会以「由此次抽样结果,有95%的信心说 会落在区间[ 」说明,但 由此说明不能进一步推论 落在区间[ 的机率是 95%,即信心不是机率(数学科 学科中心电子报精选辑,2008.7.15) .简而言之,抽样足够多次后,可以得出约 95%的信 赖区间会包括未知的定数 ,抽样完成后, 值是否落在所得的区间中,是个已确定的事 实(虽然在未做普查的情形下,谜底尚未揭晓) ,不是机率问题.因此论点 A 所得的结论 是正确的,论点 B 的观念是错误的.事实上,由图二亦可以看出,若我们知道真正的 是 多少,则抽样足够多次后,有95%个[0