PDF《2019 北京市西城区高三一模数学（理科）考试逐题解析》

7 13.能说明"若 ,则 ,其中 "为假命题的一组 , 的值是_ 【答案】 , (答案不唯一) 【解析】取,,

满足 , 但 ,不满足 ,因此原命题为假命题. 14.如图所示,玩具计数算盘的三档上各有 个算珠,现将每档算珠分为左右两部分, 左侧的每个算珠表示数 ,右侧的每个算珠表示数 (允许一侧无珠) ,记上,中,下三 档的数字和分别为 , , .例如,图中上档的数字和 .若,,

成等差数列, 则不同的分珠计数法有_______种. 【答案】 【解析】每档可取 到 中的每个整数, 若公差为 ,共有 种, 若公差为 ,则共有 种, 若公差为 ,则共有 种, 若公差为 ,则各有 种, 所以不同分珠方法有 种. 北京新东方优能中学&优能

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三、解答题(共6小题,共80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15.(本小题满分

13 分) 在中,已知 ,其中 . (I)判断 能否等于 ,并说明理由;

(II)若,,

,求 . 【解析】 (I) 不能等于 ,理由如下: 由余弦定理得 , 若 ,则 ,而 ,故 不能等于 . (II)把,,

代入 , 得到 ,即,故,解得 或者 , 显然边长 ,所以 . , 且,.北京新东方优能中学&优能

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9 16.(本小题满分

14 分) 如图,在多面体 中,梯形 与平行四边形 所在平面互相垂直, (I)求证: 平面 ;

(II)求二面角 的余弦值;

(Ⅲ)判断线段 上是否存在点 ,使得平面 平面 ?若存在,求出 的值,若不存在,说明理由. 【解析】 (I) , 面,面,面,又四边形 为平行四边形, , 面,,

面,又,面,面,面面,又面,面.(II) 梯形 与平行四边形 互相垂直, , , 建立如图空间直角坐标系, 得到 , , , , , , 北京新东方优能中学&优能

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10 设 是平面 的法向量, , 令,,

同理平面 的法向量 , , 二面角 为锐角, 二面角 的余弦值为 . (Ⅲ)存在点 ,满足题意. 由(II)知,平面 的法向量 , 设 ,则 , , , , , , , , , , 设 是平面 的法向量, ,令,,

面面,,

,,

.北京新东方优能中学&优能

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11 17.(本小题满分

13 分) 为培养学生的阅读习惯, 某校开展了为期一年的 "弘扬传统文化, 阅读经典名著" 活动.活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各

10 名学生的阅读量(单位: 本) ,统计结果用茎叶

图表示如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 表示. (I)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中 的所有可能取值;

(II)将甲、乙两组中阅读量超过

15 本的学生称为"阅读达人" ,设 ,现从所有的 "阅读达人"里任取

3 人,求其中乙组人数 的分布列和数学期望. (Ⅲ)记甲组阅读量的方差为 .在甲组中增加一名学生 得到新的甲组,若 的阅读 量为 10,则记新甲组阅读量的方差为 ;

若 的阅读量为 20,则记新甲组阅读量的方 差为 ,试比较 的大小.(结论不要求证明) 【解析】 (I)甲乙两组总阅读量分别为: 甲:1+2+6+8+10+11+12+12+17+21=100;

乙:1+2+4+4+12+13+16+16+20+10+ =98+ . 平均数:甲乙,即数据之和甲 乙,即,,

,所以 的可取值为

0 或1. (II)甲乙两组阅读达人的人数如下: 甲:17,21 共2人;

乙:16,16,20 共3人. 即从

5 人中共抽取

3 人,其中乙组人数 可取 1,2,3, 北京新东方优能中学&优能

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12 , , , 所以 的分布列如下:

1 2

3 数学期望: . (Ⅲ) . 北京新东方优能中学&优能

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13 18.(本小题满分