PDF《2019 北京市西城区高三一模数学（理科）考试逐题解析》

13 分) 设函数 ,其中 (Ⅰ)当 为偶函数时,求函数 的极值;

(Ⅱ)若函数 在区间 上有两个零点,求 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)因为 为偶函数,所以 . , 即,所以 .所以 , .令,极小值 极大值 所以 存在极小值为 ,极大值为 . (Ⅱ) 在 上有两个零点,等价于 在 上有两个根. 令,,

令,,

.极小值 极大值 所以 在,上单调递减,在 上单调递增, 又因为 , , , . 所以当 或时, 在 上有且只有两个根, 即当 或时,函数 在区间 上有两个零点. 北京新东方优能中学&优能

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14 19. (本小题满分

14 分) 已知椭圆 的长轴长为 ,左、右顶点分别为 , .经过点 的 直线与椭圆 相交于不同的两点 , (不与点 , 重合) . (Ⅰ)当 ,且直线 轴时,求四边形 的面积;

(Ⅱ)设 ,直线 与直线 相交于点 ,求证: , , 三点共线. 【解析】 (Ⅰ)由题意,得 ,解得 ,所以椭圆 方程为 , 当 ,且直线 轴时, , . (Ⅱ)设,①当直线 的斜率 不存在时,由题意,得 的方程为 , 不妨令 , , 由 可得 , , 此时 ,且,,

,三点共线. ②当直线 的斜率 存在时,设,由联立得 , 显然 , , 由得,,

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15 设直线 与 交于点 ,由得,,

、重合, , , 三点共线. 北京新东方优能中学&优能

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16 20. (本小题满分

13 分) 如图,设 是由 个实数组成的 行 列的数表,其中 表示 位于第 行第 列的实数,且.定义 为第 行与第 行的积.若对于任意 ,都有 ,则称数表 为完美数表. (Ⅰ)当时,试写出一个符合条件的完美数表;

(Ⅱ)证明:不存在 行 列的完美数表;

(Ⅲ)设为行列的完美数表,且对于任意的 和 ,都有 , 证明: . 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)假设存在. , , , , 北京新东方优能中学&优能

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17 , 值为 或 ,此方程无解,矛盾. 不存在 行 列完美数表. (Ⅲ) , 即,,

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