PDF《2019 年北京市西城区高三期末数学（理科）逐题解析》

2 件该食品,记其支付费用为 元,用频率估计概率,求 的分布列和数学期望;

(Ⅲ)根据

图表数据,请自定标准,对甲,乙两企业食品质量的优劣 情况进行比较. 北京新东方优能中学&

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12 【解析】 (I)由图知, , 则甲企业抽样的次品频率为 , 由频率估计概率, 所以从甲企业生产的产品中任取一件产品为次品的 概率为 . (II) 由表知销毁次品后剩余

一、

二、 三等品总数为 (件) , 所以乙企业抽样一等品频率为 ,二等品频率为 , 三等品频率为 , 由频率估计概率,且2件产品所属等级相互独立, 则乙企业生产

一、

二、三等品概率为 , , . 由已知得 所有可能取值分别为 元). 则,,

,,

,北京新东方优能中学&

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13 所以随机变量 分布列如下:

120 150

180 210

240 则(Ⅲ) (标准不同,答案不唯一) 标准:次品率越高,企业越差. 由

图表知,甲企业次品率为 0.14,乙企业次品率为 , 因为 ,所以乙企业生产的食品质量要优于甲企业生产的食 品质量. 北京新东方优能中学&

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14 18.(本小题

13 分) 已知函数 ,其中 . (I)如果曲线 与 轴相切,求 的值;

(II)如果函数 在区间 上不是单调函数,求 的取值 范围. 【解析】 (I)由题: , 设与轴相切于点 ,则: 解得: . (II)由题意,得,求导,得,因为 ,所以 与 正负号相同, 令函数 , 求导,得,由,解得 , 当 变化时, 与 的变化情况如下表所示: 北京新东方优能中学&

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15 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 又因为 , , 所以当 时, , 当时, , 因为函数 在区间 上既不是增函数,也不是减函数, 所以 ,且,所以 ,且,解得 , 验证可得 或时, 均不符合题意, 所以实数 的取值范围是 . 北京新东方优能中学&

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16 19. (本小题

14 分) 已知椭圆 的离心率为 ,左、右顶点分别为 ,点 是椭圆 上异于 的一点,直线 与 轴交于点 . (I)若点 在椭圆 的内部,求直线 的斜率的取值范围;

(II)设椭圆 的右焦点为 ,点在轴上,且 ,求证: 为定值. 【解析】 (Ⅰ) 由,,

解得 , 故椭圆方程为 . 由题意得直线 的斜率存在, , 故设直线 , 令 ,得 , 在椭圆 的内部, ,即,又为异于 的一点, . (Ⅱ)由题意,直线 的斜率存在且不为 , 故设直线 . 联立 , 设 ,则 , , ,则.北京新东方优能中学&

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17 , , 直线 方程为 , 令 ,得 , . 直线 的方程为 , 令 ,得 , . 由 ,得 , . , ,即 为定值. 北京新东方优能中学&

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18 20. (本小题

13 分) 设正整数数列 满足 ,其中 . 如果存在 ,使得数列 中任意 项的算术平均值均为整 数,则称 为 阶平衡数列 . (I)判断数列 和数列 是否为 阶平衡数列 ? (II)若 为偶数,证明:数列 不是 阶平衡数列 , 其中 . (III)如果 ,且对于任意 ,数列 均为 阶 平衡数列 ,求数列 中所有元素之和的最大值. 【解析】 (Ⅰ)数列 不是 阶平衡数列;

数列 是 阶平衡数列. (Ⅱ)若 为偶数,设.考虑 这项,其和为 , 所以这 项的算术平均值为 ,此数不是整数. 若 为奇数,设.考虑 这项,其和为 . 所以这 项的算术平均值为 , 此数不是整数. 故数列 不是 阶平衡数列 ,其中 . 北京新东方优能中学&

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19 (III)在数列 中任取两项 ,对于任意 , 在 中任取与 相异的 项,并设这 项的和为 . 由题意, 得 都是 的倍数, 即 因此 . 即数列中任意两项的差 都是 的倍数,其中 . 因此所求数列 的任意两项之差都是 的公倍数. 如果数列 的项数超过 , 那么 均为 的倍数. 即 均为 的倍数, (注: 为 的最小公倍数), 所以 , 所以 ,这与 矛盾, 因此数列 至多有 项. 如果数列 的项数为 , 那么 均为 的倍数, 即 均为 的倍数, (注: 为 的最小公倍数), 又因为 ,且,所以 , 所以 , 当且仅当 (其中 )时, 取最大值 . 验证知此数列为 阶平衡数列 ,其中 . 北京新东方优能中学&