PDF《小波变换 模极大值 消噪 算法的研 究》

1 小波变换 和模极大值 设母波函数为 ( t ) , 伸缩和平移因子分别为 a 和b,小波基 函数 : ,

6 ( ) = ( ) (

1 ) 式中: a∈R, b ∈R. 函数 厂( f ) ∈L ( R) 的小 波变换 ,

6 ( '

, '

) 定义为:.6(f)=厂( f ) = { I 厂(f),6(f)df(2)√a一∞ 小波变换 .

6 ( 厂)为函数 厂( f ) ∈L ( R) 在对应 函数族 .

6 ( t ) 上的分解 , 分解成立的前提是母波函 数(t)满足如下容许条件: 维普资讯 http://www.cqvip.com N o

3 电力科学与工程 ・

1 3 ・ c :『 . . d w <

∞ J

0 w 式中:(w) 为(t)的傅 里叶变 换[.由小波变换 .

6 ( 厂) 重构 f ( t ) 的小波逆变换定 义为:f(t)=j'

o―o..j'

一oo..㈩d6(3)小波基不是唯一的 , 只要满足容许条件即可定义 任一特定信号的小波基 , 另外 为了数学 上的方便 , 小 波变换也可以采用卷积形式表示为: w ( t ): f ( t )= . . . 厂()(丝)d(4)式中 : ( t ) = ( ) . S 仍然是尺度参数 , 在实 际应 用中, 小波变换 的 尺度参数不必连续取值, 而是按照某种方式把连续小 波及其变换做离散化处理 , 通常对尺度参数 S进行二 进制离散化 , 即取 S =2 j , ∈z , 则f(i)在尺度

2 下 的小波 变换 为:W2 ( t )= f( t )

2 J ( t )= j 一..)()出(5)它给出了第 倍频程的局部信息. 由于二者本质上没有区别 , 用于信号奇异性检测 的小波变换通常采用卷积形式 , 从某种意义上讲 , 卷 积运算就是求两个函数相似的运算 , 这种意义上的小 波变换 wr ( s , ) 可以看成是信号 f ( .

3 2 ) 通过 冲击响 应为(.32)的系统 后 的输 出 .设 W, ( s , .

3 2 ) 是 函数 厂(.32)的卷积型小波变换 , 在尺度 S o 下,称点 ( S o , .

3 2 o ) 为 局部极 值点 , 若在XO有一 过零 点,称(So,32o)为小波变换的模极 大值点 .对于属于

3 2 o 的 某一邻域 的任 意点 .

3 2 , 都有

1 wr ( s , .

3 2 ) l ≤

1 wr ( s

0 , X O ) l [

3 ] .

2 信号和 噪声在小波变换下不 同特性 当 在区间[ a, b] 中时 , 如果 f( ) 的小波变换 满足:lW, ( S , .

3 2 ) l ≤ k s . (

6 ) 式中: 志为一个常数 , 则f()在区间 [ a, b ]中的 L i p 指数 均为a.定义 尺度 S下 为小 波 变换 的局 部极 值点是指 wr ( s , ) 对 求偏导在 处为零 , 模极大 值点是

0 , 则V∈0,有1wr (

5 , ) l ≤

1 wr (

5 , ) l 对于奇异点 , 由于其奇异度小于邻域 . 内的 奇异指数 , 所以当 S 充分趋 于零时 , 处 的小波变换 模值衰减最慢 , 从而 0内的点 收敛到 o且成为 模极大值点 J . 设 为信号 的局部突变点 ( 奇异点) , 则 在该点 处的小波变换取得模极大值.在离散 二进小波变换 中, 式(

1 ) 变为: l W, ( S , ) l ≤ l 志(2j).l(7)如果信号在 处 的奇异性大于零 , 那么 由式(

7 ) 可知随着尺度 的增加 , 小波变换模极大值也随着变 大.但若信号具有负的奇异性 , 则情况是相反的.负 的奇异性意味着信号具有 比不连续更差的奇异性 , 这 就是 白噪声 的情 况 .对 于一 般的白噪声 , 可 以证 明它几乎处处奇异 , 且具有负的奇异指数 : .: 一一,v>

0 .一一一,V u 随着尺度 的增加 , 噪声小波变换模极大值点的平均 幅度和稠密度减小 j . 当以平滑 函数的一阶导数 ( ) 作 为母小波做 小波变换时 , 其小波变换在各个尺度下系数 的模极大 值对应 于信号突变点 的位置 .从理论 上讲 , 尺度越 小,()平滑区域小 , 小波系数模极大值点 与突变点 位置的对应关系就越准确.但是 , 小尺度下 小波系数 受到噪声的影响非常大 , 产生许多伪极值点 , 往往只 凭一个尺度不能定位突变点的位 置.相反 , 在大尺度 下,对噪声进行 了一定的平滑 , 极值点相对稳定 , 但由于平滑作用使其定位又产生 了偏差.同时 , 只有在适 当的尺度下各突变点引起 的小波变换才 能避免交迭 干扰.因此 , 在用小波变换模极大值法判定信号的奇 异点时, 需要把多尺度结合起来综合观察.