PDF《第四章 时间响应分析》

第四章 时间响应分析 (教材第

4、5章) 4-1 控制系统的时域指标 4-2 一阶系统的时间响应 4-3 二阶系统的时间响应 4-4 高阶系统的时间响应 4-5 控制系统的稳态误差(教材第4章) 4-6 反馈的特性(教材第4章) 第八讲:二阶系统的时间响应 (4-3 单元,3学时) 4-3 二阶系统的时间响应 4-3 二阶系统的时间响应 一 二阶系统的数学模型 二阶系统非常重要,不仅二阶系统的应用实 例多见,而且,在一定条件下,多数高阶系统可 以用二阶系统来近似.

比如,直流电动机,在忽 略电感时,就得到了二阶系统: ? ? ? ? ? ?

1 ? ? s T s K s U s m m a ? ? ? s T s T K s G m m m

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m m n m n T K T

2 1

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2 2

2 ? ? 二阶系统的标准框图 二阶系统的标准形式 ? ?

2 2

2 2 n n n s s s ? ?? ? ? ? ? ? 式中, 为系统的阻尼 比, 为无阻尼振荡频 率,简称固有频率(也 称自然振荡频率). ? n ? ? ? s s s G n n ?? ?

2 2

2 ? ? _

二、 二阶系统的单位阶跃响应 1.当时,是过阻尼系统.二阶系统的闭环特征 方程有两个不相等的负实根,闭环传递函数可写为

2 2

2 1

2 1

2 ( ) ( )

2 1/ ( 1/ )( 1/ ) n n n Y s R s s s TT s T s T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 1

2 2

1 1

1 1 n n n n T T ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

1 ? ? 当系统的输入信号为单位阶跃函数时,则系 统的输出量为: 拉氏反变换得:

1 2

1 2 1/ ( )

1 ( ) ( 1/ )( 1/ ) T T Y s R s s T s T s ? ? ? ?

1 2 / /

1 2

1 1

2 1

1 1 /

1 /

1 t T t T y t L Y s e e T T T T ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.当时,是临界阻尼系统.二阶系统的闭环特 征方程具有两个相同的负实根,即: 而临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

1 ? ? n T T ? ? ?

2 1

1 1 ? ? ? ?

2 2

2 1 ( )

1 1 n n n n n Y s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( )

1 (1 ) t n n y t t e ? ? ? ? ? ?

1 ? L 3.当时,为欠阻尼情况.二阶系统的闭环特征 根为

2 1,2

2 1

1 n n d n d n s j j ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当系统输入为单位阶跃信号时,系统的输 出量为

2 2

2 1 ( )

2 n n n Y s s s s ? ?? ? ? ? ? ?

0 1 ? ? ? ---衰减系数 ---阻尼振荡频率 即有:

2 2

2 2

2 1 ( ) ( ) ( ) ( )

1 (cos sin )

1 n n n n d n d t d d s Y s s s s h t e t t ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

1 sin( )

1 1 or arccos t n d e t arctg ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j

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0 二阶系统单位阶跃响应

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2 ( )

2 n n n s s s ? ?? ? ? ? ? ?

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1 n n s ?? ? ? ? ? ? ? 1,2 n n s ?? ? ? ? ?

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1 n n s j ?? ? ? ? ? ? ? 1,2 n s j? ? ? j

0 j

0 二阶系统单位阶跃响应

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2 n n n s s s ? ?? ? ? ? ? ?

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1 t T t T y t e e T T T T ? ? ? ? ? ? ? ( )

1 cos( ) n y t t ? ? ? ( )

1 (1 ) t n n y t t e ? ? ? ? ? ?

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1 sin( )

1 t n d e y t t ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

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0 1 n T ? ? ? ? j

0 2

1 T ?

1 1 T ? [基本结论] 在 的情况下, 越大,超调量 越小, 响应的振荡性越弱,平稳性越好;

反之, 越小,振荡 性越强,平稳性越差. 过大,比如, ,则系统响应迟缓,调节时 间长,快速性差;

若 过小,虽然响应的起始速度 较快, 和小,但振荡强烈,响应曲线衰减缓慢,调 节时间 亦长. 我们再来看一下二阶系统对单位脉冲激励的响应.