PDF《答案与提示》

时, , 其中 , 为任意常数. 3. . 4.通解: ;

满足的解: 或(,为任意 常数) . 5.当时,通解为 ( , 为任意常数) . 当时,若rank ,则通解为 ( 为任意常数) ;

若rank ,则 通解为 ( , 为任意常数) . 6. (1) 或;

(2) 时通解为 ( 为任意常数) ;

时通解为 ( 为任意常数) .

7 7. (1)当且时,方程组有唯一解. (2)当时,方程组无解. (3)当时,方程组有无穷多解.通解为 , , 为任意常数. 8. (1)当时( 可为任意常数) ,方程组有唯一解 , , , . (2)当,时,方程组有无穷多解.通解为 , , 为任意常数. (3)当,时,方程组无解. 9. ( 为任意常数) . 10. (1)略;

(2) , ;

通解: ( , 为任意常数) . 11. (1)当 时有唯一解 ,且;

(2)当 时有无穷多解,通解为 ( 是任意常 数) . 12. (1) 时, 不能由 , , 线性表示;

(2) 时, 能由 , , 线性表示.此时,当时, ;

当时, ( 为任意常数) . 13. (1)当时( 可为任意常数) , 能由 , , , 唯一线性表示;

(2)当,时, 不能由 , , , 线性表示;

(3)当,时, 能由 , , , 线性表示,但表达式不唯一. 其一般表示为 ( , 为任意常 数) . 14. (1) (I)的基础解系 , ;

(II)的基础解系 , ;

(2) ( 为任意常数) . 15.(1) 或;

(2)当时,公共解为 ( 为任意常数) ;

当时,公共解为 . 16. (1) ( , 为任意常数) ;

(2) 时有非零公共解.全部公共解为 ( , 为任意常数) . 17. (1) ( 为任意常数) ;

(2) , , . 18. (1)提示:利用 Vandermonde 行列式的结论. (2)通解: ( 为任意常数) .

8 19.提示:利用行列式的性质 . 20.提示:充分性:由 的行向量组与 的行向量组等价可推出存在矩阵 , 使得 , .必要性:此时 与 同解,由此可得到 rank rank ,则 的行向量组可以被 的行向量组线性表示.同样方法 可证明 的行向量组可以被 的行向量组线性表示. 21.提示:rank rank rank . 22. 提示: 说明 是 的解, 是的个线性无关的解. 23.提示:验证 ,从而说明 不可逆. 线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1.是线性空间;

维数为 1, 是一个基. 2.是线性空间;

维数为 3;

, , 是一个基. 3. , . 4. 是一个基,维数为 3. 5. (1) 时, , , 是一个基;

时, , 是一个基. (2) 时, , 是一个基;

时, ,无基. (3) 时, , , 是一个基;

时, , , , 是一个基. 6. (1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) . 7. (1) ;

(2) ;

(3) ( 是任意常数) . 8. (1)提示:将,,

与,,

的关系用矩阵表示,该矩阵可逆;

(2) .

9 9.提示:若(),则 . 10. (1)提示:从定义验证,并在等式中取 ( ) ;

(2) . §2 线性变换及其矩阵表示 1. (1)不是;

(2)是;

(3)是. 2. (1) ;

(2) ;

(3) , . 3. (1) ;

(2) ;

(3) . 4. . 5. (1) ;

(2) , , ;

(3) ;

(4) ;

(5) ( 是任意常数) . 6. (1) ;

(2) ;

10 (3) . 7.提示:用反证法.从 推出 . 8.提示:按定义写出线性组合表达式,再作用 . 9.提示:设 ,则 是齐次线性方程 的非零解. 10. (1) ;

(2) ;

(3)按定义直接验证. 11.提示:按定义直接验证. 12.提示:说明 在基 , , , 下的表示矩阵可逆. : . 13.提示: 的表示矩阵 满足 . 14. (1)提示:从定义出发,在线性组合为零的表达式上作用 的适当次幂. (2) 就是所求的基. 特征值与特征向量练习题 §1 特征值与特征向量 1. (1)特征值为 1(二重)和2.对应于特征值

1 的特征向量为 ,对 应于特征值

2 的特征向量为 ,其中 是不为零的任意常数;

(

2 ) 特征值为1(二重)和.对应于特征值1的特征向量为,其中 , 是不全为零的任意常数.对应于特征值