PDF《答案与提示》

2 的特征向量为 ,其中 是不为零的任意常数. 2. , ( 重) . 3. . 4. (1) ;

(2) 的特征值为 1, , . 的特征值为 , , . (3) 的特征值为 4,1,16. 5. . 6.提示:证明 的特征值不为零. 7. . 8. , . 9. .

11 10. , , 对应的特征值为 5. 11. , , , 或,,

,.12. , . 13. , , 或,,

.14. , ,1, , , . 15. (1)提示:按定义直接验证;

(2) 的各行元素之和为 , 的 各行元素之和为 . 16.提示: (1) 的特征值满足 ;

(2)由已知得 且.17. . 18.提示:参考例 4.1.15 的方法. 19.提示: 是 的特征值,因此 ,且 直接计算知 . 20.提示:先证明 只有一个 重特征值 ,再证明 . 21.提示: (1)当 ,利用块初等变换 → → . (2)提示: ,其中 , ,并利用(1) 的结论.答案: ( 重) , , . 21.提示:应用 Hamilton-Cayley 定理.

12 §2 方阵的相似化简 1. (1)能与对角矩阵相似, , ( 的答案不 唯一,下同) ;

(2) 不能与对角矩阵相似. 2. (1)都有特征值 1(二重) ,5. (2) 与 相似, 与和都不相似. 3. , . 4. . 5. (1) ;

(2) . 6. (1) , , 所对应的特征值为 ;

(2)不能对角化. 7. (1) ;

(2)不能对角化. 8. (1) , ;

(2) , . 9.4. 10. , . 11. 与 相似, . 12. . 13. , , . 14.提示: . 15.提示:由假设可知 ,并用例 4.2.14 的方法.

13 16.提示:若,,

取 . 17.提示:利用 ,再说明 与 的特征值互 不相同. 18.提示: (1)从及可知 有非零解;

(2)若 成立,由 可得 ,于是 是 对应于特 征值

0 的特征向量. Euclid空间与酉空间练习题 §1 内积 1. (1) ;

(2) ( , 为任意常数) . 2. , , . 3. , . 4. (1) , ;

(2) ( , 为任意常数) . 5. , . 6.提示:按定义直接验证. 7.提示: ,再考虑 . 8.提示: . 9.当时;

当 时().10.提示:直接验证 . 11.提示:利用 验证 与 的内积为 0. 12.提示:由假设可知 ,再利用矩阵运算的性质 直接验证 . 13.提示: 在标准正交基 下的表示矩阵是正交矩阵. 14. 是在基 下的具有表示矩阵 的线性变换. 15. ,其中 . 16.提示:直接验证.

14 §2 正交相似和酉相似 1. (1) , ;

(2) , . 2. (1) ,其它特征值为

2 和5;

(2) 3.与对角阵相似, . 4. (1) ;

(2) . 5. . 6. (1)另一个特征值为 0,对应的特征向量为 ( 为任意非零常数) ;

(2) . 7. (1)特征值为 0(二重)和3.对应于特征值

0 的特征向量为 ( , 为不全为零的常数) ;

对应于特征值

3 的特征向量为 ( 为任意非零 常数) ;

15 (2) , . 8. (1) ;

(2) , . 9. (1) ;

(2) . 10. . 11.提示: 正交相似于对角阵. 12.提示: , 相似于相同的对角阵,因此 , 相似. 13.提示: 和 分别是 的对应于 , 的特征向量.又 ,所以

0 是 的特征值. 14. , . 15. 提示: , . 16. . 二次型练习题 §1 二次型及其标准形式 1. , , .

16 2. , , . 3. . 4. . 5. (1) , ;

(2) , , . 6. (1) , ;

(2) , . 7. . 8. . 9. (1) ;

(2)单叶双曲面,标准方程为 . 10. . 11.提示: 有正的特征值. 12.将 约化为规范形考虑. 13.提示:考虑经正交变换后的 的标准形. 14.提示: , . 15.提示: 的只有特征值 0. 16. . 17.提示: (1) ;

(2)相同,因为 ,

17 即与合同. 18. 为最大值;

为最小值. §2 正定二次型 1. (1)正定;

(2)负定;

(3)既不正定,也不负定. 2. . 3. . 4. . 5.提示:说明 的特征值均大于 . 6. (1) ;

(2) 且.7.提示:说明 的特征值均大 0. 8. (1)提示:说明 的特征值均大 0;

(2) . 9.正定. 10.标准形: (后面 个系数均为 ) .正定. 11. (1) , ,0;

(2) . 12.提示:记为的所有特征值的绝对值的最大者,当 满足 即可. 13.提示:按定义验证. 14.提示:方法见例 6.2.13. 15.提示:证明二次型 半正定. 16.提示:按定义验证.