编辑: 星野哀 | 2015-08-15 |
} + f(x,y) n(x,y) g(x,y) 简单的通用退化模型 线性: H{k1f1 + k2f2} = k1H{f1} + k2H{f2}相加性:令k1 = k2 = 1,则H{f1 + f2} = H{f1} + H{f2}一致性:令f2 = 0,则H{k1f1} = k1H{f1} 位置(空间)不变性: H{f[x-a, y-b] } = g[x-a, y-b] H多具有的性质 2幅图像 常数 图像任意位置的响应只与在该位置的输入值有关,而与位置本身无关 常见具体退化模型示例 空间不变 线性 摄影胶片的冲洗过程 非线性 光学成像系统,由于孔径衍射产生的退化 目标运动造成的模糊退化 模糊退化 随机噪声迭加,随机性的退化 退化模型的计算 假设对2个函数f(x)和h(x)进行均匀采样,其结果放到尺寸为A和B地2个数组. 对f(x),x的取值范围是0,1,2…A-1;
对h(x),x的取值范围是0,1,2,….B-1.利用卷积计算g(x).为了避免卷积的各个周期重叠,取M≥A+B-1,并将函数用0扩展补齐 fe(x)和he(x)表示扩展函数,卷积为 ge(x)=∑fe(m) he(x-m) x=0,1,…M-1 矩阵表示 g=Hf g和f是M维列矢量:fT = [ f[0], f[1], …, f[M-1] ]gT = [ g[0], g[1], …, g[M-1] ] H称为M*M循环矩阵 H= g=Hf+n (1) 考虑噪声 如果直接对式(1)进行计算求解f,计算量达,如M=N=512 ,则H的尺寸为262144*262144,可以通过对角化H来简化 当k=0,1…M-1时,循环矩阵H(设为M*M)的特征矢量和特征值分别为 循环矩阵对角化 将H的M个特征矢量组成1个M*M的矩阵W W = [w(0) w(1) w(2) … w(M-2) w(M-1)] H = WDW-1?D = W-1HW 其中:D(k,k) = λ(k),WW-1 =W-1W=I 复原的代数方法 图像复原的主要目的是当给定退化的图像g以及H和n的某种假设,估计出原始图像f代数复原方法的中心是寻找一个估计的f^,它使事先确定的某种优度准则为最小 无约束复原方法 由退化模型可知,其噪声项为:n= g-Hf在并不知道n的情况下,希望找到一个f^,使得Hf^在最小二乘方意义上来说近似于g,也就是说,寻找一个f^,使得 ||n||2 = ||g C Hf^||2 ? J(f^) nTn = (g C Hf^)T(g C Hf^) 或 实际上是求J(f^)的极小值问题,除了要求J(f^)为最小外,不受任何其它条件约束,因此称为无约束复原 dJ(f^ )/df^ =
0 = -2HT(g C Hf^) 即f^ = (HTH)-1 HTg M=N时,则有 f^ = H-1(HT)-1 HTg = H-1 g (2) 约束复原方法 在最小二乘方复原处理中,为了在数学上更容易处理,常常附加某种约束条件.如令Q为f的线性算子,最小二乘复原问题可看成是使形式为||Qf^||2函数,服从约束条件||g C Hf^||2 = ||n||2 的最小问题,这种带有附件条件的极值问题可用拉各朗日乘数法处理 处理过程 寻找一个f^,使下述准则函数为最小 J(f^) = ||Qf^||2 + α{||g C Hf^||2 - ||n||2} 拉各朗日系数 dJ(f^ )/df^ =