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* 第3章 随机过程 * 主要内容 3.

1 随机过程的基本概念3.2平稳随机过程3.3高斯随机过程3.4平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程3.7高斯白噪声和带限白噪声 * 第3章 随机过程 3.1 随机过程的基本概念什么是随机过程?随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述.可从两种不同角度看:角度1:不同样本函数的集合. * 第3章 随机过程 【例】n台示波器同时观测并记录n台性能相同的接收机的输出噪声波形 样本函数?i (t):随机过程的一次实现,是确定的时间函数.随机过程:? (t) ={?1 (t), ?2 (t), …, ?n (t)} 是全部样本函数的集合. : * : 第3章 随机过程 角度2:随机过程是随机变量概念的延伸.在任一给定时刻t1上,每一个样本函数?i (t)都是一个确定的数值?i (t1),但是每个?i (t1)都是不可预知的.在一个固定时刻t1上,不同样本的取值{?i (t1), i = 1, 2, …, n}是一个随机变量,记为? (t1).因此,我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合. * 第3章 随机过程 3.1.1随机过程的分布函数设? (t)表示一个随机过程,则它在任意时刻t1的值? (t1)是一个随机变量,其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述.随机过程? (t)的一维分布函数:随机过程? (t)的一维概率密度函数:若上式中的偏导存在的话. * 第3章 随机过程 随机过程? (t) 的二维分布函数:随机过程? (t)的二维概率密度函数:若上式中的偏导存在的话. 随机过程? (t) 的n维分布函数:随机过程? (t) 的n维概率密度函数: * 第3章 随机过程 3.1.2 随机过程的数字特征均值(数学期望):在任意给定时刻t1的取值? (t1)是一个随机变量,其均值式中 f (x1, t1) - ? (t1)的概率密度函数由于t1是任取的,所以可以把 t1 直接写为t, x1改为x,这样上式就变为 * 第3章 随机过程 ? (t)的均值是时间的确定函数,常记作a ( t ),它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 : a (t ) * 第3章 随机过程 方差方差常记为? 2( t ).这里也把任意时刻t1直接写成了t .因为所以,方差等于均方值与均值平方之差,它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度. 均方值 均值平方 * 第3章 随机过程 自相关函数式中, ? (t1)和? (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量.协方差函数式中 a ( t1 ) a ( t2 ) - 在t1和t2时刻得到的? (t)的均值 f2 (x1, x2;

t1, t2) - ? (t)的二维概率密度函数. * 第3章 随机过程 相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1) = a(t2),则B(t1, t2) = R(t1, t2)互相关函数式中?(t)和?(t)分别表示两个随机过程. * 第3章 随机过程 3.2 平稳随机过程3.2.1 平稳随机过程的定义定义:若一个随机过程?(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关,也就是说,对于任意的正整数n和所有实数?,有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称严平稳随机过程. * 第3章 随机过程 性质:该定义表明,平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变,即它的一维分布函数与时间t无关:而二维分布函数只与时间间隔? = t2 C t1有关: * 第3章 随机过程 数字特征:可见,(1)其均值与t 无关,为常数a ;

(2)自相关函数只与时间间隔? 有关.把同时满足(1)和(2)的过程定义为广义平稳随机过程.显然,严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立. 在通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程.因此,研究平稳随机过程有着很大的实际意义. * 第3章 随机过程 3.2.2 各态历经性 问题的提出:随机过程的数字特征(均值、相关函数)是对随机过程的所有样本函数的统计平均,但在实际中常常很难测得大量的样本,这样,我们自然会提出这样一个问题:能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? * 第3章 随机过程 各态历经性条件设:x(t)是平稳过程?(t)的任意一次实现(样本),则其时间均值和时间相关函数分别定义为: 如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性. * 第3章 随机过程 各态历经 的含义是:随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态.因此,在求解各种统计平均(均值或自相关函数等)时,用一次实现的 时间平均 值代替过程的 统计平均 值即可,从而使测量和计算的问题大为简化.具有各态历经的随机过程一定是平稳过程,反之不一定成立.在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态历经条件. * 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性,称为 各态历经性 (又称 遍历性 ).具有各态历经性的过程,其数字特征(均为统计平均)完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替. * 第3章 随机过程 [例3-1] 设一个随机相位的正弦波为其中,A和?c均为常数;