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?是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量.试讨论?(t)是否是一个平稳随机过程,是否具有各态历经性.【解】(1)先求?(t)的统计平均值:数学期望 * 第3章 随机过程 自相关函数令t2 C t1 = ?,得到可见, ?(t)的数学期望为常数,而自相关函数与t 无关,只与时间间隔? 有关,所以?(t)是广义平稳过程. * 第3章 随机过程 (2) 求?(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均,有因此,随机相位余弦波是各态历经的. * 第3章 随机过程 3.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义:平稳过程自相关函数的性质 ― ?(t)的平均功率 ― ?的偶函数 ― R(?)的上界即自相关函数R(?)在? = 0有最大值.?(t)的直流功率 表示平稳过程?(t)的交流功率.当均值为0时,有R(0) = ?2 . * 第3章 随机过程 3.2.4 平稳过程的功率谱密度定义:对于任意的确定功率信号f (t),它的功率谱密度定义为式中,FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数 * 第3章 随机过程 对于平稳随机过程? (t) ,功率谱密度可以定义为 * 第3章 随机过程 功率谱密度的计算维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换.这种关系对平稳随机过程同样成立,即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系. * P (f )的性质(由自相关函数推得):(1)(1)P(f ) ? 0, 并且P(f )是实函数.(2) P(f )=P(-f ),即P(f )是偶函数. R是正定函数,正定函数的付里叶变换一定是非负的. 因为自相关函数是偶函数 * 第3章 随机过程 [例3-2] 求随机相位余弦波?(t) = Acos(?ct + ? )的自相关函数和功率谱密度.【解】因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换,即有 所以,功率谱密度为平均功率为 * 第3章 随机过程 3.3 高斯随机过程(正态随机过程)3.3.1 定义如果随机过程? (t)的任意n维(n =1,2,...)分布均服从正态分布,则称它为正态过程或高斯过程. n维正态概率密度函数表示式为:式中 * 第3章 随机过程 式中 |B| - 归一化协方差矩阵的行列式,即|B|jk -行列式|B|中元素bjk的代数余因子 bjk - 为归一化协方差函数,即*第3章 随机过程 3.3.2 重要性质由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差.因此,对于高斯过程,只需要研究它的数字特征就可以了.广义平稳的高斯过程也是严平稳的.因为,若高斯过程是广义平稳的,即其均值与时间无关,协方差函数只与时间间隔有关,而与时间起点无关,则它的n维分布也与时间起点无关,故它也是严平稳的.所以,高斯过程若是广义平稳的,则也严平稳. * 第3章 随机过程 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的,即对所有j ? k,有bjk =0,则其概率密度可以简化为这表明,如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的,那么它们也是统计独立的.高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程.也可以说,若线性系统的输入为高斯过程,则系统输出也是高斯过程. * 第3章 随机过程 3.3.3 高斯随机变量定义:高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量,也称高斯随机变量,其一维概率密度函数为 式中a - 均值?

2 - 方差曲线如右图: * 第3章 随机过程 性质f (x)对称于直线 x = a,即 a表示分布中心, ? 称为标准偏差,表示集中程度,图形将随着? 的减小而变高和变窄.当a = 0和? = 1时,称为标准化的正态分布: * 第3章 随机过程 正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算,通常利用其他特殊函数,用查表的方法求出:用误差函数表示正态分布函数:令 则有 及 式中 -误差函数,可以查表求出其值. * 第3章 随机过程 用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数:式中当x >