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物理学专业必修课程 数学物理方法 Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院

第三章 热传导方程的分离变量法 引言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究,它的研究包括从方程的导出到应用行波法和分离变量法.

本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究 . 数理方程的基本步骤: 建坐标系 选物理量 找物理规律 写表达式 物理模型 数学模型 定量化

一、热传导方程的导出 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热, 沿杆长方向有温差, 求热量的流动. 1. 物理模型 3.1 热传导方程 2.相关链接 ⑴ 相关概念和定律 ① 热传导:由于温度分布不均匀产生的热传递现象.设 热量: 面积: 体积: 时间: 密度: 温度: ② 比热:单位物质温度升高一度 ③ 热流密度:单位时间流过单位面积 的热量( Fourier实验定律) :导热率 所需热量. ④热源强度:单位时间,单位体积放出的热量(源密度). ⑵用到的物理学规律 ① Fourier实验定律(热传导定律):当物体内存在 温度差时,会产生热量的流动.热流强度(热流密度) 与温度的下降成正比.即 :热导系数(热导率),不同物质 不同, 对均匀杆 是常数.负号表示 温度下降的方向. 分量形式: , , 一维问题: (对同一种物质)温差越大,热能流动越大.相同温度下,不同的物质热能流动不同. ② 热量守恒(质量)定律:物体内部温度升高所吸收的热量(浓度增加所需要的质量),等于流入物体内部的净热量(质量)与物体内部的热源所产生的热量(质量)之和. 3.分析 研究的问题: 热流流动是由温差造成, 为温度. 已知: , , 常数 . 是一维问题 . 方法: 与弦振动方程所用方法相同 设4. 研究建立方程 时间热量情况 取 轴与细杆重合, 表示在 点 时刻的温度. 考虑任一 段在 ① 流入 面: ③热源产生:设有热源其密度为 杆内热 源在 段产生的热量为 ②流出 面: ④ 段温度要升高 所吸收 的热量 , 故⑤根据能量守恒定律 流入 段总热量与 段中热源产生 的热量: 即 化简: 两边同除以 当,则一维热传导方程为: , . 二维热传导方程为: 其中: 三维热传导方程为: 扩散方程物理模型 一充满清水的玻璃管.如果一端滴一滴红墨水,则红墨水的分子就要向另一端扩散.渗透半导体之间的锑扩散,硼扩散,磷扩散.

二、定解条件 物体上初始时刻的温度分布 边界上温度,热交换情形 定解问题 ⒈初始条件 以细杆的热导方程为例 ⒉ 边界条件提法有三种 第一类边界条件:直接给出物理量在边界上的数值(边界上各点的温度). 或 第二类边界条件: 研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值. 物理意义: 把细杆端点 处,既无热量流出去,又 处的截面 用一种定点绝热的物质包裹起来,使得 在端点 无热量流进来. 已知通过细杆端点的热量,特殊 如 绝热条件. 情形 第三类边界条件: 物理量与外法向导数的线性组合. 已知杆端 与某种介质接触,它们 之间按热传导中的牛顿实验定律进行热交换,相应的边界条件为 : :热导系数 :热交换系数 介质通过边界按照冷却定律散热: 单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介质表面温度 和外界温 之差成正比. 度 设比例系数为 ,则 如在 处, 3.2 混合问题的分离变量解

一、定解问题:有界杆的热传导现象 其中 为已知函数. 第一步:分离变量 .设热导方程具有如下分离 变量解(特解) . 将其代入泛定方程有 其中 是常数.于是有 、由边界条件有 当 ,则 当 ,则 即本征值问题 上章已经证明只有当 . 时, 该本征值问题有非零解. 第二步:求解本征值问题 .由,即特征值是 , . 本征函数是 第三步: 求特解,并叠加出一般解 又由 , ,得 两边积分得: 其中 是积分常数.于是 故一般解为: 第四步:确定叠加系数 由初始条件 有 两端同乘以 ,逐次积分有 分析解答: 由初始温度 引起的温度 引起的温度分布的叠加. 可看作是由各个瞬热源 分布 3.3 初值问题的付氏解法 将 等在 上展成Fourier级数,再 无限扩大. 上节求解混合问题时,空间坐标 区间为 .如考虑无界杆的热传导,如何? 变动 让区间 引言结果:在一定条件下,Fourier级数变成一个积分形式,称为Fourier积分.