PPT《物理学专业必修课程》

一、 Fourier积分 设 定义在 内,且在任一 上分段光滑,则 有限区间 展开成Fourier级数 可. 其中: 现设 在 上这时可积,即 则当 时, 证: , , , 则上式写成 , 可以证明: 及 的连续点处, 的付氏 积分收敛于它在该点处的函数值. 称为 的Fourier积分. 其中 ,它是关于 的偶函数. Fourier积分还可写为 其中

二、热导方程的Cauchy问题 定解问题 其中 为已知函数. 分析: 已知一无限长细杆在初始 时刻的温度分布,求其以后的温度分布. 解: (分离变量法求) 令则为常数. 有 时, 将随 的增加而增加, 所以不合理. ,设 ,则 ⑴ 当时, , , 为积分常数, 必须 因为 , 会无界, 所以 ⑵ 当时, , 与,无关,而恒等于 . , 取所有实数,解的叠加只能积分. 而由Fourier积分有: 而∴分析解答 解的物理意义: 由初始温度 引起 热源引起的温度分布的叠加. 的温度分布 可看作由各个瞬间点 的一个小单元 ,函数 在该区间内为常数 ,而区间外恒为0. 说明: ① 取 在单位横截面积细杆上取 点附近 物理上: 在初始时刻, 这个表示吸取了热量 使这一段温度为 杆上的分布由 ,此后温度在细 给出. ②取上式为: ,将分布在整个一小段上的热量 看作在极限情形只作用在 点,则在 有瞬时点热源,强度为 的热源,在细杆上得到的温度分布为: ,这样 由积分中值定理: 其中: , , , 则故所代表的温度分布是当初始时刻 ,细杆在 处受到强度为: 的瞬时点热源的作用而产生的. 对原问题的解释: ①为在初始时刻使细杆在 处有温度 ,则在此近邻一小单位 上需吸收的热量为 或在 点有温度为 的瞬时 点热源所产生温度的叠加: 在细杆的所有点上,初始温度 的 总作用,就是由这些个别单位的作用的叠加. 由初始温度 引起的的温度分布 可看作由各个瞬时点热源所引起 的温度分布的叠加. ②对任何时刻 沿整个 轴对积分有 初始时刻 处温度为 的瞬时点 热源,热量沿杆分布的总和始终不变, 细 杆上热量的总和不随时间变化.