PPT《第四章 导热问题的数值解法》

第四章 导热问题的数值解法 §4-0 引言 求解导热问题的三种基本方法:(1) 理论分析法;

(2) 数值计算 法;

(3) 实验法 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上,直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分,这样获得的解称之为分析解,或叫理论解;

(2) 数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,从而获得离散点上被求物理量的值;

并称之为数值解;

(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下,采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解,可以为实验和数值计算提供比较依据;

b 局限性很大,对复杂的问题无法求解;

c 分析解具有普遍性,各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法:在很大程度上弥补了分析法的缺点,适应性 强,特别对于复杂问题更显其优越性;

与实 验法相比成本低(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法,a 适应性不好;

b 费用昂贵数值解法:有限差分法(finite-difference)有限元法(finite-element)边界元法(boundary- element)分子动力学模拟(MD) §4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立

1 物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件 确定节点(区域离散化) 建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是否二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题

2 例题条件 x y n m (m,n) M N

3 基本概念:控制容积、网格线、节点、界面线、步长 二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题

4 建立离散方程的常用方法: (1) Taylor(泰勒)级数展开法;

(2) 多项式拟合法;

(3) 控制容积积分法;

(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法) (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式,用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j 若取上面式右边的前三项,并将式①和式③相加移项整理即得二阶导数的中心差分:同样可得: 截断误差未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2 对于二维稳态导热问题,在直角坐标中,其导热微分方程为:其节点方程为: (2) 控制容积平衡法(热平衡法) 基本思想:对每个有限大小的控制容积应用能量守恒,从而获得温度场的代数方程组,它从基本物理现象和基本定律出发,不必事先建立控制方程,依据能量守恒和Fourier导热定律即可.

能量守恒:流入控制体的总热流量+控制体内热源生成热 = 流出控制体的总热流量+控制体内能的增量即:单位: ? 即:从所有方向流入控制体的总热流量 + 控制体内热源生成热 = 控制体内能的增量 注意:上面的公式对内部节点和边界节点均适用 稳态、无内热源时:从所有方向流入控制体的总热流量=0 内部节点: (m, n) o y x (m-1,n) (m+1,n) (m,n-1) ?x ?x ?y ?y (m,n+1) 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时: 可见:当温度场还没有求出来之前,我们并不知道所以,必须假设相邻节点间的温度分布形式,这里我们假定温度呈分段线性分布,如图所示 (m,n) (m-1,n) (m+1,n) tm,n tm-1,n tm+1,n 可见,节点越多,假设的分段线性分布越接近真实的温度布.此时: 内热源: 时: 无内热源时: 变为: 重要说明:所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和.这一结论也适用于边界节点.但这里不包括热流(或热流密度)前的系数. 4-2 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解 对于第一类边界条件的热传导问题,处理比较简单,因为已知边界的温度,可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中,组成封闭的代数方程组,直接求解.而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题,就必须用热平衡的方法,建立边界节点的离散方程,边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组,才能求解.为了求解方便,这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑,用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式.用Φ表示内热源强度. 1.边界节点离散方程的建立: qw x y qw (1) 平直边界上的节点 (2) 外部角点 x y qw (3) 内部角点 x y qw qw的情况:(1) 第二类边界条件:将 ,带入上面各式即可 绝热或对称边界条件?第三类边界条件:将 ,带入上面各式 即可 ? 课堂作业:将 带入外部角点的温度离散方程,并化简到最后的形式 (3) 辐射边界条件: 或其他 2.节点方程组的求解 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度,n个代数方程式: 代数方程组的求解方法:直接解法、迭代解法 直接解法:通过有限次运算获得代数方程精确解;