PDF《上海 HPM 通讯》

(2) 切线不 能穿过圆;

(3) 圆位于切线的同一侧;

(4) 切线与过切点的直径垂直.阿波罗尼斯对圆锥曲 线切线的理解是:(1) 切线与圆锥曲线公共点个数为 1;

(2) 圆锥曲线位于切线的同一侧. 阿基米德也通过公共点个数来理解螺线的切线. 对鄂、苏、沪、皖四地

332 名高中生的调查表明:绝大多数高中生对切线的理解只达到 古典几何阶段, 他们只是根据公共点个数、 直线与曲线相对位置或直线与圆半径位置关系来 判别切线,与古希腊欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德等的理解具有相似性.[17] 例如,关 于直线

0 y = 是否曲线

3 x y = 的切线问题,给出肯定判断的

125 名被试中,超过三分之一的 学生以 公共点个数为

1 作为依据;

而给出否定判断的

207 名被试中,超过半数的学生以 曲线位于直线同一侧或直线不穿过曲线 作为依据. 尽管高三被试和大部分高二被试已经 学过导数的几何意义,但他们之中没有一人用 割线的极限位置 来判断

0 y = 是否

3 y x = 的切线,只有五分之一的学生得到

3 y x = 在0x=处导数为零 的结果,有3名高三被试 甚至认为

3 y x = 在x=0处不可导 .关于 圆锥曲线切线的定义 ,高二和高三两个年级 共224 名被试中,45%的被试以 与圆锥曲线只有

1 个公共点的直线 或 圆锥曲线位于其 同一侧的直线 作为定义.只有

3 名高三被试明确以 割线的极限位置 作为定义.此外, 所有被试对切线所持有的表象均停留在古典几何阶段,没有一位学生提及 割线的极限位 置 . 因此, 绝大多数被试未能从特殊曲线的切线顺利过渡到一般曲线的切线, 这也表现出高

8 度的历史相似性, 因为从古典几何阶段过渡到近代分析阶段, 历史上的切线概念也经历了漫 长而艰辛的过程. 另一项研究是 6-8 年级学生对字母符号理解的历史相似性.[18] 我们知道, 代数发展经历 了修辞代数、缩略代数和符号代数三个基本阶段.从古希腊代数学鼻祖丢番图的《算术》中 选取两题作为测试题(第2题略有改动) :(1) 已知两数的和与差,求这两个数;

(2) 从一个 数中分别减去两个已知数,已知其中一个差是另一个差的若干倍,求这个数. 测试结果表 明,尽管被试已经学习过 用字母表示数 ,但学生所用的方法中,兼有修辞代数、缩略代 数和符号代数三种方法,随着年级的增加,符号代数方法的比率逐渐增高,但即使在 8-9 年级,仍然出现修辞和缩略的方法.因此,从修辞代数到符号代数的过渡并非一蹴而就之事, 符号代数理解的历史相似性昭然若揭! 2.3 数学教学中运用数学史的方法 关于数学教学中运用数学史的方法, 我们将国外已有的几种分类方法进行整合与改进, 得到附加式、复制式、顺应式和重构式四类,见表 1. 表1数学教学中运用数学史的方式 类别描述Tzanakis &

Arcavi Jankvist 附加式 展示有关的数学家图片, 讲述逸闻趣事 等,去掉后对教学内容没有什么影响 直接运用法 启发法 复制式 直接采用历史上的数学问题、解法等 直接运用法 启发法 顺应式 根据历史材料,编制数学问题 - - 重构式 借鉴或重构知识的发生、发展历史 间接运用法 基于历史法 许多中学教师误认为,在课堂上运用数学史,就是讲点数学家的故事,其实这只是数 学史的较低层次的用法,属于附加式,中学课堂里采用得较多.在复数概念的教学设计中, 浙江省诸暨中学张小明老师曾经采用莱布尼茨问题来引入: 已知