PDF《每日一题汇总：几何最值（5 月6日-5 月12 日）》

,连接 A'

B,A'

P,则A'

P=AP, ∵PQ=2 是定值, ∴将点 A'

向右平移至 A'

'

,使得 A'

A'

'

=PQ=2,连接 A'

'

Q,A'

'

E, ∴四边形 PA'

A'

'

Q 是平行四边形, ∴A'

'

Q=A'

P=AP, ∴ =AP+PQ+QE+AE= A'

'

Q+ QE+PQ+AE A'

'

E+PQ+AE, 当且仅当 A'

'

、Q、E 共线时, 有最小值. 图1图2【第二步:计算最小值】 由题意,容易算出 , , ∴ 的最小值为 . 答案: 的最小值为 .

10 5 月7日解析(来源:侯有磊): 1. 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,以AE 为边作等腰 RtAEA'

,使得 AE=EA'

,∠AEA'

=90° ,连接 A'

D, 容易得到,A'

ED≌AEF(SAS),∴A'

D=AF, ∵点D是直线 BC 上的动点, ∴A'

D⊥BC 时(如图 2),A'

D 有最小值,即AF 有最小值;

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,A'

D⊥BC 时,过点 E 作EG⊥A'

D 于G, 容易得到,∠A'

EG=30° , ∴ , 又∵∠EDG=45° , ∴ , ∴ ,即AF 的最小值为 . 总结:对于已知主动点(题1中点 D)轨迹,求从动点(题1中点 F)到定点距离的最值,可以先通 过旋转或构造手拉手全等将问题转化为主动点到另一定点的距离,再判断最值、计算.

11 变式:(做法与第

1 题类似,只写出大概思路,读者可自行求解) 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,以AE 为边作等边AEA'

,连接 A'

D, 容易得到,A'

ED≌AEF(SAS),∴A'

D=AF, ∵点D是直线 BC 上的动点, ∴A'

D⊥BC 时(如图 2),A'

D 有最小值,即AF 有最小值;

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,容易得到,AA'

∥BC, ∴A'

D⊥BC 时,A'

D 等于点 A 到直线 BC 的距离, ∴ ,即AF 的最小值为 . 答案:AF 的最小值为 .

12 5 月8日解析(来源:侯有磊): 1. 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,取AB 中点 F,连接 FD, ∵ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,,

∴AF=AO,AD=AE, ∵∠BAC=∠DAE=90° , ∴AFD≌AOE(SAS), ∴FD=OE, ∵点D在直线 BC 上运动, ∴FD⊥BC 时,FD 有最小值,即OE 有最小值;

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,FD⊥BC 时, ∵AB=2, ∴ ,即OE 的最小值为 . 总结:对于已知主动点轨迹,求从动点到定点距离的最值,可以先通过旋转或构造手拉手全等将问题 转化为主动点到另一定点的距离,再判断最值、计算.

13 变式:(做法与第

1 题类似,只写出大概思路,读者可自行求解) 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,以DC 为边作等边DCC'

,连接 C'

E, 容易得到,EDC'

≌FDC(SAS),∴C'

E=CF, ∵点E是直线 AC 上的动点, ∴C'

E⊥AC 时(如图 2),C'

E 有最小值,即CF 有最小值;

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,C'

E⊥AC 时,∠C'

CE=75° ,∠CC'

E=15° , 在C'

E 上取点 G,使得∠C'

CG=15° , ∴CG=C'

G,∠CGE=30° , ∴ , , 在RtC'

CE 中,由勾股定理得, , 即, , 解得,CE= ,C'

E= ,

14 ∴CF 的最小值是 ;

同理可得,BF 的最小值是 . 答案:CF 的最小值是 ;

BF 的最小值是 .

15 5 月9日解析(来源:侯有磊): 1. 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,取AF 中点 M,BE 中点 N,连接 MC、MN, ∴MN 是梯形 ABEF 的中位线, ∴ ,∠MNB=60° , ∴M 是定点, 又∵∠ACF=90° ,M 是AF 的中点, ∴AF=2MC, 当MC⊥BE 时(如图 2),MC 有最小值,即AF 有最小值;