PDF《每日一题汇总：几何最值（5 月6日-5 月12 日）》

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,MC⊥BE 时, ∵MN=3,∠MNB=60° , ∴ ,即AF 的最小值为 . 总结:对于线段两端皆是动点的最值问题,优先考虑把线段长进行转移,例如利用直角三角形中斜 边中线等于斜边一半、三角形中位线等常见的几何结构进行转移,将问题转化为一定一动的最值问 题,接着判断最值、求解.

16 变式:(做法与第

1 题类似,只写出大概思路,读者可自行求解) 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 【第二步:计算最小值】 图1图2如图 1,过C作CE⊥AB 于E,过D作DF⊥AB 于F,过C作CG⊥DF 于G, ∵ACM 和MDB 是等边三角形, ∴E、F 分别是 AM、MB 的中点, ∴ , ∵∠CMF=∠EFG=∠FGC=90° , ∴四边形 CEFG 是矩形, ∴CG=EF=6, 在RtCGD 中, , 当且仅当点 D 和G重合时(如图 2),CD 有最小值 6. 答案:CD 的最小值为 6.

17 5 月10 日解析(来源:陈雪娇): 1. 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,作点 A 关于 BD 的对称点 ,连接 ,交BD 于点 E, 则,,

当 、E、C 三点共线时 有最小值;

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,记与BE 交于点 F,过点 作BD 的平行线,过点 C 作BD 的垂线,两线交于点 H, 记CH 与BD 交于点 G. ∵ 且,∴,,

又∵ 且,∴,,

∴,,

∴,即的最小值为 . 总结:同侧两点求最小值时,先转化为异侧,利用两点之间线段最短确定动点在何处时取得最小 值,进而根据勾股定理求最小值.

18 变式:(做法与第

1 题类似,只写出大概思路,读者可自行求解) 【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1, 做点 D 关于 AB 的对称点 , 连接 交AB 于点 M, 将点 沿BA 方向平移至点 , 使得 ,连接 ;

做点 D 关于 BC 的对称点 ,连接 交BC 于点 N,将点 沿BC 方向平移至点 ,使得 ,连接 . ∴ , ∴FD+DE+DG+DH= ∴当,F,D,三点共线且 D,H, 三点共线时取得最小值. 图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,当,F,D,三点共线且 D,H, 三点共线时. ∵ ∥MF,且M为中点, ∴MF= = , ∴EM= ,

19 过点 D 做BC 的平行线交 BA 于点 P,过点 P 做BC 的垂线交 BC 于点 Q. ∴DN=PQ=1, ∴BP= ,PM= , ∴BM=BP+PM= , ∴BE=BM EM= .

20 5 月11 日解析(来源:柳翔): 1. 【第一步:判断什么条件下可取得最大值】 如图,将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 90° ,得到 AM'

, 则有AM'

B≌AMC, ∴MC=M'

B, M'

B≤MM'

+MB, ∴最大值为 MM'

+MB, 当且仅当 M,M'

,B 共线时取最大值;

【第二步:计算最大值】 ∵AM=AM'

=3, ∴MM'

= , ∴MM'

+MB=2+ . 总结:等线段共端点夹特殊角考虑旋转,即遇见等线段共端点夹特殊角的特征可以考虑旋转全等. 变式:(做法与第

1 题类似,只写出大概思路,读者可自行求解) 【第一步:判断什么条件下可取得最大值】 如图,将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 90° ,得到 AM'

, 同第

1 题,最大值为 MM'

+MB, 当且仅当 M,M'

,B 共线时取最大值;

【第二步:计算最大值】. 答案:5+ .

21 5 月12 日解析(来源:吴江): 1.【第一步:判断什么条件下可取得最小值】 如图 1,在等边ABC 中,连接 AD,将ABC 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 60? , 得到AD'

C,点P与Q重合. ∴AD'

C≌ADB'

,AD'

C≌ADP ∴PD=QD'

, ∴DP + DQ= QD'

+DQ≥DD'

, ∴最小值为 DD'

,此时点 D、点Q、点D'

共线;

图1图2【第二步:计算最小值】 如图 2,当点 P、Q、D'