PDF《动力学》

动力学本篇将研究物体运动的变化与作用在物体上的力之间的关系,从而找出物体 机械运动的普遍规律.

本篇中物体的力学模型是质点和质点系(包括刚体) .动力 学问题可根据问题的特点及复杂程度采用多种方法解决. 它既是静力学和运动学内容的拓宽,也在工程实际中得到广泛应用.

第五章 动力学基本定律与 质点运动微分方程 本章主要在牛顿运动定律的基础上建立质点在惯性坐标系下的运动微分方 程, 并应用质点运动微分方程求解质点动力学的两类问题:一是已知质点的运动, 求质点所受的力;

二是已知作用于质点的力,求质点的运动.本章还建立了非惯 性坐标系下质点相对运动动力学方程. 【教学要求】 1.掌握动力学基本定律,理解惯性坐标系的概念及古典力学的适用范围. 2.熟练掌握建立质点运动微分方程的方法. 3.能够正确应用质点运动微分方程,解决质点动力学的两类问题. 4. 正确理解牵连惯性力和科氏惯性力的概念及表示方法. 能正确地建立适当形式 的质点相对运动微分方程并进行求解. 【内容要点】

一、 牛顿运动定律与惯性坐标系 动力学的基本定律是牛顿提出的三个定律,即通称的牛顿运动定律.这几个 定律是: 第一定律 任何物体,如不受外力作用,将保持静止或作匀速直线运动. 第二定律 质点受到外力作用时, 所产生的加速度的大小与力的大小成正比, 而与质点的质量成反比,加速度的方向与力的方向相同.这一定律可用数学公式 表为 a F m =

1 其中,为质点的质量;

是作用于质点的所有的力的合力. ∑ = i F F 第三定律(即作用与反作用定律)两物体间相互作用的力(作用力与反作用 力)同时存在,大小相等,作用线相同而指向相反. 不受外力作用时,物体将保持静止的或匀速直线运动的状态,这是物体的属 性,这种属性称为惯性.所以第一定律也称为惯性定律,而匀速直线运动也称为 惯性运动. 由第二定律可知,在相同的力的作用下,质量愈大的质点加速度愈小,也就 是说,质点的质量愈大,保持惯性运动的能力愈强,由此可知,质量是物体惯性 的度量. 作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意义.因为第二定律只 适用于单个质点,而我们将要研究的问题大多是关于质点系的,第三定律给出了 质点系中各质点间相互作用的关系,从而使质点动力学的理论能推广应用于质点 系. 适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系.实践结果证明,在绝大多数工程问 题中,可取固结于地球的坐标系为惯性参考系.

二、质点运动微分方程 根据牛顿第二定律,质点在惯性系中的运动微分方程有以下几种形式: 1. 矢量形式 图5-1 设有一质点 M ,质量为 ,作用于该质点的所有的力的合力为 , 如图 5-1所示,令质点的加速度为 ,则m∑=iFFaFa=m(5-1) F v = t m d d (5-2)

2 或Fr=22ddtm(5-3) 应用矢量形式的微分方程进行理论分析非常方便,但求解一些具体问题有时 很困难,因此,多数问题的求解仍需要根据具体问题,选择其它合适的坐标系. 2.直角坐标形式 过原点 取直角坐标系 ,如图 5-1所示.将矢量方程投影到各坐标轴 上,就得到直角坐标形式的质点运动微分方程 O Oxyz x x x F ma t v m t x m = = = d d d d

2 2 y y y F ma t v m t y m = = = d d d d

2 2 (5-4) z z z F ma t v m t z m = = = d d d d