PDF《动力学》

一、质心运动定理 设质点系由n个质点M1,M2,…,Mn组成,各质点的质量分别为m1,m2 ,…,mn,质点系的质量为 ∑ = i m m .任取固定点O,各质点对O点的矢径分 别为 , 质点系质心C对O点的矢径r n r r r ? ? ? , ,

2 1 C. 代表作用于质点 的外力, 代表内力.由于 =0, E i F i M i F ∑ I i F ∑ = E i c F r

2 2 d d t m

9 或∑=EicFvtmdd(6-1) 式(6-1)表明,质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上的外力 的矢量和. 将式(6-1)投影于固定直角坐标轴x,y,z上,可得 ∑ ∑ ∑ = = = E iz c E iy c E ix c F t z m F t y m F t x m

2 2

2 2

2 2 d d , d d , d d (6-2) 方程(6-1)与(6-2)就是质心的运动微分方程. 可见,质点系的质心就像一个质点那样运动,这个质点的质量等于质点系的 质量, 而且在这个质点上作用着所有作用于质点系的外力. 这就是质心运动定理. 若=0,即质点系不受外力,或作用于质点系的外力的矢量和始终 等于零,则 =常量,即质心处于静止(如果原来是静止的)或作匀速直线运动. 由式(6-2) ,若=0,即作用于质点系的外力在x轴上投影的代数和始终 等于零,则 =常量,即质心的x坐标不变(如果质心的初速度在x轴上的投影 等于零), 或者质心沿x轴的运动是匀速的. 由此可见, 要改变质点系质心的运动, 必须有外力作用;

质点系内部各质点之间相互作用的内力不能改变质心的运动. E i F ∑ c v E ix F ∑ Cx v

二、 动量和冲量 1.动量 动量是表征机械运动的一个物理量.质点的质量m与它在某瞬时t的速度 v 的乘积,称为该质点在瞬时t的动量.把质点系中所有质点动量之矢量和,称为 该质点系的动量,用P表示: P i i v m ∑ = (6-3) 质点系的动量还可表示为 P c v m = (6-4) 即质点系的总质量与质心速度的乘积就等于质点系的动量.具体计算动量时 可采用其在直角坐标系的投影形式:

10 P ∑ = ix i v m i ∑ + iy i v m j ∑ + iz i v m k cx mv = i cy mv + + (6-5) j cz mv k 对于刚体系统,设第i 个刚体的质心 的速度为 ,则整个系统的动量可 按下式求得 i C Ci v P ∑ = Ci i v m (6-6) 其中 是第i 个刚体的质量. i m 动量的单位为kg・m/s. 2. 冲量 力与其作用时间的乘积称为该力的冲量,用I表示, t t t

1 2 d F I ∫ = (6-7) 其中, 是力F在dt时间内的元冲量. t d F 冲量是矢量.将式(6-7)的两边投影到固定坐标轴上,得冲量 I 在三个直角 坐标轴上的投影 dt F t t I dt F t t I dt F t t I z z y y x x ∫ ∫ ∫ = = =

1 2

1 2

1 2 (6-8) 如果作用于质点的力不只一个而有若干个,设为F

1、F

2、…、Fn,其合力 为F,而∑=iFF,则 t t t t t t

1 2

1 2 d ) ( d

2 1 n F F F F I + ? ? ? + + = = ∫ ∫ t t t t t t t t t

1 2

1 2

1 2 d d d

2 1 n F F F ∫ ∫ ∫ + ? ? ? + + = (6-9)

11 ∑ = + ? ? ? + + = i n I I I I

2 1 即,在任一段时间内,合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和. 冲量的单位为kg・m/s,或N・s.

三、质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系.其微 分形式为: ∑ = E i F P t d d (6-10) 即,质点系的动量对于时间的导数,等于作用于质点系的外力的矢量和.这就是 质点系的动量定理.式中 为作用于质点系外力的矢量和. E i F 任取固定的直角坐标轴x、y、z,将方程(6-10)两边投影到各轴上,并 注意矢量导数的投影等于矢量投影的导数,于是有质点系动量定理的投影形式: ∑ ∑ ∑ = = = E iz z E iy y E ix x F t P F t P F t P d d , d d , d d (6-11) 质点系动量定理的积分形式,也称为质点系的冲量定理: ∑ ∑∫ = = ? E i E i I F p p t t t