PDF《动力学》

2 2 其中 为作用于质点的各力在 z y x F F F , , z y x , , 轴上的投影之和. 3.自然坐标形式 图5-2 设已知质点运动的轨迹曲线(图5-2) ,以轨迹曲线上质点所在处为原点,在 点上建立由切线、主法线、副法线组成的自然坐标轴系,将矢量方程(5-1)投影 到自然坐标轴上,可得到自然坐标形式的运动微分方程:

3 b n n F F ma v m F ma t v m t s m = = = = = =

0 d d d d

2 2

2 ρ τ τ (5-5) 其中,s为质点的弧坐标,ρ 为运动轨迹的曲率半径,Fτ、Fn、Fb为作用在质点上 的力在自然坐标轴上的投影之和. 4.极坐标形式 图5-3 当质点作平面曲线运动时,将矢量方程(5-1)投影到极坐标轴上(图5-3) , 可得到极坐标形式的运动微分方程: (5-6) ? ? ? ? F r r m F r r m r = + = ? )

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其中,r、φ为质点的极坐标, Fr、Fφ为作用在质点上的力在极坐标轴上的投影 之和. 除了以上几种常用的质点运动微分方程形式外,根据质点的运动特点,还可 以选用柱坐标、球坐标等形式的运动微分方程.正确分析运动特点,选择一组合 适的微分方程,会使求解问题的过程大为简化. 5. 质点运动微分方程的应用 运用质点运动微分方程,可求解质点动力学两类基本问题,即: 第一类:已知质点的运动规律,求作用在质点上的力.这类问题因已给出质 点的某种坐标形式的运动方程, 故易知质点的运动轨迹,不难用微分法求得解答. 只是要注意到所求全约束力包含静载荷引起的部分及质点运动引起的动约束力部 分;

并应注意质点运动过程中有无脱离约束的情况. 第二类:已知作用在质点上的力,求质点的运动规律.这类问题归结为求解 运动微分方程.作用于质点的力可以是常力或变力,变力可能是时间、质点的位 置坐标、速度的函数,只有当函数关系较简单时,才能求得微分方程的精确解;

4 如果函数关系复杂,求解将非常困难,有时只能求出近似解.此外,求解微分方 程时将出现积分常数,这些积分常数须根据质点运动的初条件即初速度和初位置 坐标来决定,所以,对于这一类问题,除了作用于质点的力以外,还必须知道质 点运动的初条件,才能完全确定质点的运动. 对于多数非自由质点,一般同时存在以上两类动力学问题,对于这种问题一 般应先解除约束,并以相应的约束力代替,根据已知的主动力及运动初始条件, 求解质点的运动规律;

然后在运动确定的条件下再求解未知约束力,约束力一般 包括静约束力和附加动约束力两部分.

三、质点在非惯性系中的运动 图5-4 设已知动坐标系O′x′y′z′对于静坐标系Oxyz的运动,试求质量 为m的质点M在力 F (主动力与约束力的合力) 作用下对于动坐标系的相对运动, 如图 5-4 所示. 设质点在两个坐标系中的加速度分别为绝对加速度 、相对加速度 . a a r a 质点相对运动动力学方程为: Ic Ie r F F F a + + = m (5-7) 记,aFeIe m ? = Ic c r

2 F a m m v ω 其中, 称为牵连惯性力, 称为科氏惯性力, Ie F Ic F ω 与 分别是非惯性系 的角速度与质点的相对速度. r v 对比方程(5-7)与(5-1)可见,只须在质点实际受到的力 F 之外,加上牵

5 连惯性力 及科氏力 ,则相对运动动力学方程与绝对运动动力学方程具有相 同的形式.于是,可以用与解答绝对运动动力学问题相同的方法来解答相对运动 的动力学问题. Ie F Ic F 解决实际问题时,可根据给定条件,选用直角坐标轴系、自然轴系或极坐标 轴系,而将方程(5-7)投影到相应的轴上,再进行求解. 几种特殊情况: 1) 动坐标系作平动时质点的相对运动 设动坐标系 z y x O ′ ′ ′ ′ ′在静坐标系 Oxyz 中作平动,则科氏加速度 , 从 而科氏惯性力 ,于是质点的相对运动动力学方程为