PDF《猜测漫谈》

Poincare? 猜测漫谈 梅加强 (南京大学数学系)

一、 引言 Poincare′ (庞加莱),法国人,伟大的数学家.

他1854 年出生于 Nancy,

1912 年 逝世于 Paris(巴黎).Poincare′ 对好几个科学分支,例如分析、数论、拓扑以及天体物理都有重要贡献,代数拓扑学也是他发明的. (Poincare′ , 1854-1912)

1904 年,Poincare′ 在他的著作 Cinqui`eme Comple? ment `a L'

Analysis Situs 提出了下面的问题: 单连通的闭的

3 维流形是否同胚于

3 维球面? 这个问题后来被人们称为 Poincare′ 猜测,这个猜测直到

100 年以后的今天才 被俄罗斯数学家 Perelman 解决. 在本次讲座中,我们的目的是围绕着 Poincare′ 猜测介绍一些近代数学的 基本概念,例如,在该猜测的表述中,象 单连通 、 闭 、

3 维 、 流形 、 同胚 、

3 维球面 等这些名词都是什么意思呢?这些名词都是现代 几何学和拓扑学中的概念,要真正弄懂它们是很不容易的,我们希望通过举一些 例子来使大家对这些概念有一个初步的印象.如果有同学能对此感兴趣,以后在 大学里能进一步学习深造并对数学有所贡献那是再好不过的了.

二、 什么是拓扑 Poincare′ 猜测是拓扑学(Topology)范畴里的一个问题,什么是拓扑学, 拓扑学研究哪些问题呢?要准确地回答这些疑问是困难的, 我们先从一个例子开 始. 1. 哥尼斯堡七桥问题(Konigsberg'

s Bridge Problem)

18 世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有

7 座桥,将 河中的两个岛和河岸连结, 城中的居民经常沿河过桥散步, 于是提出了一个问题: 能否一次走遍

7 座桥,而每座桥只许通过一次,最后仍回到起始地点,这就是七 桥问题. 七桥问题 这个问题人们试了很多办法都没能解决,直到引起了瑞士数学家 Euler(欧拉)的注意. (Euler,1707-1783) Euler 很快证明了七桥问题中的走法是不存在的,他的做法是这样的:第一 步,七桥问题可以抽象为一个数学模型.Euler 是这样想的:既然陆地是桥梁的 连接地点,它们的大小、形状均与问题本身无关,不妨把图中被河隔开的陆地看 成A、B、C、D

4 个点;

7 座桥表示成

7 条连接这

4 个点的线,它们的长短、曲直,也与问题本身无关,因此,不妨任意画

7 条线来表示它们. 七桥问题的抽象化 于是七桥问题就成了一个 一笔画 问题,即怎样不重复地通过

7 座桥,变成了 怎样不重复地画出一个几何图形的问题.第二步,Euler 注意到,凡是能用一笔 画成的图形,都有这样一个特点:每个点如果有进去的边就必须有出来的边,从 而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画. 七桥问题抽象出来的图中每 个点都连接着奇数条边, 因此不可能一笔画出, 这就说明不存在一次走遍

7 座桥, 而每座桥只许通过一次的走法. 我们可以思考一下:七桥问题有什么特点呢?首先,这是一个几何问题,然而,它却是一个以前的几何学里没有研究过的几何问题.在这个问题中,陆地变 成了点, 桥梁变成了线, 而点的具体坐标, 线的长短曲直等都不改变问题的本质, 唯独点线之间的相关位置,或相互连结的情况不能变.Euler 把研究这一类问题 的几何学分支称为 位置几何学 ,后来人们正式命名为 拓扑学 . 粗略地来说,拓扑学研究的是空间在连续变化下所保持不变的那些性质.我 们在这个讲座上无法告诉大家这句话的准确含义,所以还是来看几个例子. 2.最基本的不变量:维数(dimension) 什么是 维数 ?粗略地来说,维数是空间的 自由度 的个数,即有几个 自由度维数就是几. (a). 直线的维数是 1.沿一条直线行走,只能前进或后退,运动的自由度 为1,因此假设在一条直线上有两只相向而行的蚂蚁,则一段时间后它们必定在 直线上某一点相遇. (b). 平面的维数是 2. 在平面上运动的自由度为 2, 其自由度比直线来得大: 在平面上两只相向而行的蚂蚁在将要相遇时只要稍微改变前进方向就可以避免 碰到对方;