PDF《猜测漫谈》

另一方面,平面上两条相交的直线,即使把它们稍微扰动一下,则它 们还是不可避免地要相交在某一点. 直线和平面 (c). 我们所生活的空间维数为 3.在平面上,我们无法对两条相交的直线 做微小的改变使之不再相交,这是因为平面的自由度太少;

幸运的是,在我们生 活的空间里还有另外一个自由度可以利用: 和平面垂直的方向还有额外的一个自 由度, 因此只要将其中一条直线在原交点附近往垂直方向走一下就避开了另外那 条直线.

3 维立体 第3个自由度 第3个自由度的运用在我们的日常生活中是十分常见的.例如,繁忙的十字路口 非常容易堵车,为了解决这个交通问题,人们利用了空间的第

3 个自由度来修建 立交桥,现在在交通繁忙的大城市中立交桥是随处可见了. 同样地, 如果我们向地面以下发展, 就出现了隧道和地铁等交通设施和交通工具. 想象一下,如果生活的空间只有两个自由度,那么我们将是多么的不方便啊! 你们可能会问:我们生活的空间为什么只有

3 个自由度,会不会还有更多的 自由度呢?这个问题可以这样来看:我们所在的教室是由地面、天花板和墙面围 起来的,如果关闭所有的门窗,则无论如何我们都无法走出这个教室.如果空间 还有一个额外的自由度,那么利用这个自由度,教室是无法围困我们的,这一点 你能想象吗?当然,在现代的一些物理理论中,空间的维数可以比

3 大,不过那 些额外的维数目前是无法探测的. 3.连通性(connectivity) 连通性是空间的另一个重要属性.一个空间称为是连通的,如果该空间中一 点可以连续不断地移动到另外一点.在前一小节中,我们用维数这个不变量可以 很容易地区分直线和平面. 现在我们指出, 用连通性也可以做到这一点. 事实上, 从一条直线中去掉一点,该直线就断开为两段,在这两段上分别取一点,它们是 无法连续不断地移动到对方的;

相反,如果在平面上去掉一点,则去掉这一点之 后的空间仍然是连通的! 去掉一点的直线 去掉一点的平面 一个空间(可能不连通)可以分为若干部分,使得每一部分都是连通的,每 一个这样的连通部分称为一个 连通分支 ,连通分支的个数是空间的一个不变 量.因此,去掉一点的直线有两个连通分支,而去掉一点的平面只有一个连通分 支.你知道怎样用连通分支的个数来区分下面的图形吗? (提示:去掉一点后再数连通分支的个数) 现在你们可能又会问: 怎样利用连通性来区分

2 维平面和我们生活的

3 维空 间呢?我们这样来看:从平面上去掉一条直线,则剩下的部分有两个连通分支;

而从

3 维空间里去掉一条直线后,剩下的部分仍然是连通的! 去掉一条直线的

2 维平面 去掉一条直线的

3 维空间 平面还具有另外一个有意思的性质: 从平面上去掉一条自己跟自己不相交的 闭曲线后,剩下的部分具有两个连通分支.这个结果是法国数学家 Jordan(若当)发现的,称为 Jordan 闭曲线分割定理 . 平面被闭曲线分成了两部分 这个定理从直观上看似乎比较容易理解,但它的严格数学证明却并不容易! 不妨看看下面的迷宫图: 如果上面的图没有着色, 你还能一眼看出平面是怎样被分成两部分的吗?另外一 个有趣的问题是:对于一个很复杂的迷宫图,怎样判断一个点在迷宫的内部还是 外部呢?有一种很巧妙的方法.这就是:先在迷宫的最外面找一点,用直线将这 两个点连接起来, 然后再考察直线与封闭曲线相交的次数. 如果相交次数是奇数, 则已知点在迷宫的内部,从这里是走不出迷宫的;