PDF《猜测漫谈》

反之则一定能走出迷宫. 4.基本群(fundamental group) 从前面的两个小节我们知道,维数和两通分支的个数是空间的不变量,我们 可以利用它们来区分不同的空间.下面我们考虑这样的问题:分别从平面上去掉 一个点和两个点,得到的空间看上去是不同的,那么怎样区分它们呢? 去掉一点的平面 去掉两点的平面 这时,用维数和连通性都无法区分它们了.我们必须考虑更加复杂的不变量来区 分它们,这个新的不变量不再是一个数,而是一个 群 (group) .什么是群呢? 一个群由若干个元素组成,这些元素之间可以定义一个 乘法运算 和一个 逆 运算 :任意两个元素之间做乘法运算可以得到一个新的元素,并且有个特殊的 元素,叫做群的 单位元 ,任何一个元素和单位元做乘法运算仍然得到它自己;

对任何元素做逆运算得到一个新的元素, 使得这两个元素之间的乘积运算得到群 的单位元. 群的简单例子:(a). 考虑平面围绕着原点的旋转变换,先作一个旋转,接 着再作一个旋转,它们合起来还是一个旋转,这是我们的 乘法运算 ;

保持平 面上所有点不动的恒同变换也看成一个旋转,这是我们的 单位元 ;

对一个旋 转作反方向的旋转就是 求逆运算 .因此,所有的这些旋转变换就组成一个群. (b). 需要注意的是,群的乘法运算和普通的数的乘法运算可以不一样,不过它 们都满足结合律;

另外,群的乘法运算分左右,从左边乘和从右边乘得到的结果 不一定相同,前面的旋转群就是这样的一个例子.(c). 考虑所有的整数,我们 把整数之间的通常的加法运算定义为群的 乘法运算 ,这时候群的单位元是

0 这个整数,而 求逆运算 就是整数的正负变换.这说明整数成为一个群,称为 整数加群 . (d). 只含有一个元素 (即单位元) 的群非常特殊, 称为 平凡群 . 群在数学中有许多用处.Poincare′ 利用群定义了空间的一个不变量,称为 空间的 基本群 ,它的定义是这样的:在空间中固定一点,考虑从这一点出发 又回到这一点的所有曲线,如果两条这样的曲线可以从一条连续地变到另外一 条,我们就说这两条曲线是 等价 的;

给两条曲线,我们可以这样来得到一条 新的曲线,即从固定点出发,先花一半时间沿一条曲线回到固定点,再花另一半 时间沿另一条曲线回到固定点,这样得到的曲线称为前面两条曲线的 乘积 , 这个乘积可以定义在等价的曲线上,得到的群就称为 基本群 .这个群中的逆 运算就是沿曲线的反方向走一圈得到新的闭曲线. 基本群的乘法运算 基本群的求逆运算 基本群在空间连续变化时是不变的.可以证明,平面的基本群是平凡群;

平 面挖去一点后,其基本群为整数加群;

平面上挖去两点以后,其基本群是一个比 整数加群要复杂很多的一个群.这样我们就用基本群........