PDF《2019 年北京市朝阳区高三期末数学（理科）逐题解析》

14 分) 如图,三棱柱的侧面是平行四边 形,,

, 平面平面,,

且分别是的中点. (Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)当侧面 是正方形,且时, (i)求二面角 的大小;

(ii)在线段 上是否存在点 ,使得 ?若存在,指出 点 的位置;

若不存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)取 中点 ,连 ,连 . 北京新东方优能中学&

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14 在中,因为 分别是 的 中点,所以 ,且.在平行四边形 中,因为 是 的中 点,所以 ,且.所以 ,且.所以四边形 是平行四边形. 所以 . 又因为 平面 , 平面 , 所以 平面 . (Ⅱ)因为侧面 是正方形,所以 . 又因为平面 平面 , 且平面 平面 , 所以 平面 .所以 . 又因为 以 为原点建立空间直角坐标系 , , 如图所示. 设 ,则 , , . (i)设平面 的一个法向量为 . 北京新东方优能中学&

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15 由 ,得 即 ,令 ,所以 . 又因为 平面 所以 是平面 的一个法向量. 所以 . 由图可知,二面角 为钝角 所以二面角 的大小为 (ii)假设在线段 上存在点 ,使得 . 设 ,则 . 又,所以 . 所以 . 故点 在点 处时,有 北京新东方优能中学&

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16 18. (本小题满分

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)当时,求函数 的极小值;

(Ⅱ)当时,讨论 的单调性;

(Ⅲ)若函数 在区间 上有且只有一个零点,求 的取值范 围. 【解析】 (Ⅰ)当时: ,令 解得 , 又因为当 , ,函数 为减函数;

当,,

函数 为增函数. 所以, 的极小值为 . (Ⅱ) . 当时,由 ,得 或.()若 ,则 . 故在上单调递增;

()若 ,则 . 故当 时, 或;

当时, . 所以 在,单调递增,在 单调递减. 北京新东方优能中学&

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17 ()若 ,则 . 故当 时, 或;

当时, . 所以 在,单调递增,在 单调递减. 综上所述: 当时, 在,,

单调递增,在 单调递 减;

当时, 在 上单调递增;

当时, 在,单调递增,在 单调递减. (Ⅲ) (1)当时, ,令 ,得 . 因为当 时, ,当时, , 所以此时 在区间 上有且只有一个零点. (2)当时: ()当时,由(Ⅱ)可知 在 上单调递增, 且,,

此时 在区间 上有且只有一个零点. ()当时,由(Ⅱ)的单调性结合 , 又 ,只需讨论 的符号: 北京新东方优能中学&

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18 当时, , 在区间 上有且只有一个零点;

当时, ,函数 在区间 上无零点. () 当时,由(Ⅱ) 的单调性结合 , , , 此时 在区间 上有且只有一个零点. 综上所述, 的取值范围为 . 19. (本小题满分

14 分) 过椭圆 的左焦点 作直线 交椭圆于 两点,其中另一条过 的直线 交椭圆于 两点(不与 重合), 且 点不与点 重合.过作轴的垂线分别交直线 于.(Ⅰ)求 点坐标和直线 的方程;

(Ⅱ)求证: . 【解析】 (Ⅰ)由题意可得直线 的方程为 .与椭圆方程联立, 由 可求 北京新东方优能中学&

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19 (Ⅱ)当与轴垂直时, 两点与 , 两点重合, 由椭圆的对称性, .当 不与 轴垂直时, 设,,

的方程为 . 由 消去 ,整理得 则,.由已知 ,则直线 的方程为 , 令 ,得点 的纵坐标 .把 代入得 .由已知, ,则直线 的方程为 , 令 ,得点 的纵坐标 . 把 代入得 . 把,代入到 中, 北京新东方优能中学&

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20 . 即 ,即 . 20. (本小题满分

13 分) 已知 是由正整数组成的无穷数列,对任意 , 满足如下两个条件: ① 是 的倍数;

② , (Ⅰ)若 ,写出满足条件的所有 的值;