PDF《核心素养怎样考 （三）》

1 )只抽一张就中奖. (

2 )连续抽2 0张,全部都不中. 解(1)只抽一张就中奖的概率为1 0%. (

2 )抽一张不中奖的概率为1-1 0%=0 . 9. 连续抽2 0张都不中的概率为( 1-1 0%)

2 0 =0 .

9 2

0 ≈0 .

1 2>

0 . 1=1 0%. 答案: (

2 ) . 相信数学还是相信直觉 本题有 现成计算公式,学生都知道这个公式.我把这道题出成选择题而不是计算题,是考 察学生相信数学还是相信 直觉 .按照许多人的 直觉,中奖率为1 0% 就是抽1

0 张就该中奖,即 使运气差一点,抽1 0张不中,再多抽两三张也该 中奖了,不可能2 0张都不中.本套题其他题都需 要计算,只有这道题不逼迫学生计算,考的是学 生抗干扰的能力. 故意给他一个偷懒的机会,看 他是坚决按计算公式办事,还是耍小聪明偷懒凭 直觉猜测,得出错误答案.尝一尝直觉的害处, 数学的好处. 这道题是受一个真实的案例启发想出来的. 邯郸农业银行两个工作人员挪用监管的钱买体育 彩票,打的如意算盘是:如果中了奖,就把挪用 的钱还回 去,奖金就自己得了.开始还真中了奖,没有赚也没有赔, 持平了.又继续买下去,连 续买了很多张,全都没有中.于是就逃跑,被抓 回来判了死刑.执行死刑之前电视台采访他,问 他对连续买很多张全都不中奖有何感想,他的回 答是:太令人意外了.看来,如果下辈子投 胎, 他一生下来就会马上买彩票.到底连续很多张不 中是令人意外的偶然现象,还是概率并不小的正 常现象?这就启发我想出了这个题. 本题数学难点:不用计算器怎样算0 .

9 2

0 ?如 下算法比较快:

0 .

9 2 =0 .

8 1;

0 .

9 4 =0 .

8 1

2 =0 .

6 5

6 1,

0 .

9 8 =0 .

6 5

6 1

2 >

0 .

4 3,

0 .

9 1

6 >

0 .

4 3

2 =0 .

1 8

4 9,

0 .

9 2

0 =0 .

9 1

6 *0 .

9 4 >

0 .

1 8 4*0 .

6 5 6>

0 .

1 2.

1 1.已知:平面直角坐标系中两点A, B 的坐 标分别为( a 1, a 2) , ( b 1, b 2) . O 是原点.将O B 沿 顺时针方向旋转直角得到O B ′. (

1 )求O A B 的面积. (

2 )求∠A O B 的角平分线上全部点的坐标. 解(1)为了讲解第1 题( 测试题1的填空 题) ,前面用几种不同方法解答过本题.最好的

2 数学通报

2 0

1 8年第5 7卷第5期 解法为:将→ttOB= ( b 1, b 2)沿顺时针方向旋转直 角得到 → t t O B ′=( b 2, - b 1) .则O A B 面积 SO A B =

1 2 | O A | | O B | |s i n ∠A O B | =

1 2 | O A | | O B ′ | |s i n ( ∠A O B ′+ π

2 ) | =

1 2 | O A | | O B ′ | |c o s ∠A O B ′ | =

1 2 | → t t O A・ → t t O B ′ | =

1 2 | ( a 1, a 2) ・( b 2, - b 1) | =

1 2 | a

1 b 2- a

2 b

1 |. 图4 (

2 )分别在 → t t O A= ( a 1, a 2) ,→ t t O B=( b 1, b 2)的 方向上取单位向量 O A → t t 1=

1 | → t t O A | → t t O A=

1 a

2 1+ a 22(a1, a 2) , O B → t t 1=

1 | → t t O B | → t t O B=

1 b

2 1+ b 22(b1, b 2) , 则这两个单位向量之和→ttOC=OA→tt1+OB→tt1=a1a21+ a 22+b1b21+ b 22,a2a21+ a 22+b2b21+ b ()22是∠A O B 的平分线上的非零向量.它的非负实 数倍 → t t O P= → t t t O C决定的点P 取遍角平分线上所有 的点.角平分线上所有点的坐标为 t a

1 a

2 1+ a 22+tb1b21+ b 22,ta2a21+ a 22+tb2b21+ b ()22,(t≥0 ) 借题发挥:向量运算刻画几何性质 本题第(1)小题强调二阶行列式Δ=a1b1a2b2=a1b2-a

2 b

1 的几何意义:它的绝对值 | Δ |等于以 → t t O A=( a 1, a 2) ,→ t t O B=( b 1, b 2)为一组 邻边的平行四边形 O AD B 的面积, O A B 面积 的2 倍. Δ 的正负号刻画了从O A 到O B 的旋转 方向是逆时针还是顺时针方向( 角度大小限定在 [ 0, π ]范围内) . 第(