PDF《1.2. Application》

1 97 Cournot model of oligopoly ? 证明当n趋于无穷时, NE是完全竞争的结果, p=c. (提示: 借鉴对称性) ** 参见课本 PP13-17. Game Theory--Chapter

1 98 Bertrand model of duopoly (differentiated products) ? 两家企业: firm 1和firm 2. ? 每家企业选择它的产品的价格时不知道其他企 业的选择. 价格分别用p1和p2表示. ? 消费者对firm

1 产品的需求量: q1(p1, p2) = a C p1 + bp2. ? 消费者对firm

2 产品的需求量: q2(p1, p2) = a C p2 + bp1. ? firm i生产数量为qi的成本是Ci(qi)=cqi. Game Theory--Chapter

1 99 Bertrand model of duopoly (differentiated products) 标准式表述: ? 参与人集合: { Firm 1, Firm 2} ? 策略集: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) ? 收益函数: u1(p1, p2)=(a C p1 + bp2 )(p1 C c) u2(p1, p2)=(a C p2 + bp1 )(p2 C c) Game Theory--Chapter

1 100 Bertrand model of duopoly (differentiated products) ? 如何找到纳什均衡 ? 找到价格组合 (p1*, p2*),其中 p1* 是firm 1对Firm 2的价格p2*的最优反应, p2*是firm 2对Firm 1的价格p1* 的最优反应 ? 即, p1* 是以下问题的解 Max u1(p1, p2*) = (a C p1 + bp2* )(p1 C c) subject to

0 ? p1 ? +∞ 且p2*是以下问题的解 Max u2(p1*, p2) = (a C p2 + bp1* )(p2 C c) subject to

0 ? p2 ? +∞ Game Theory--Chapter

1 101 Bertrand model of duopoly (differentiated products) ? 如何找到纳什均衡 ? 解firm 1的最大化问题 Max u1(p1, p2*) = (a C p1 + bp2* )(p1 C c) subject to

0 ? p1 ? +∞ FOC: a + c C 2p1 + bp2* =

0 p1 = (a + c + bp2*)/2 Game Theory--Chapter

1 102 Bertrand model of duopoly (differentiated products) ? 如何找到纳什均衡 ? 解firm 2的最大化问题 Max u2(p1*, p2)=(a C p2 + bp1* )(p2 C c) subject to

0 ? p2 ? +∞ FOC: a + c C 2p2 + bp1* =

0 p2 = (a + c + bp1*)/2 Game Theory--Chapter

1 103 Bertrand model of duopoly (differentiated products) ? 如何找到纳什均衡 ? 如果p1* = (a + c + bp2*)/2 p2* = (a + c + bp1*)/2 那么价格组合 (p1*, p2*) 是一个纳什均衡 ? 解这两个方程可以得到 p1* = p2* = (a + c)/(2 Cb) Game Theory--Chapter

1 104 Bertrand model of duopoly (homogeneous products) ? 两家企业: firm

1 和firm 2. ? 每家企业选择它的产品的价格时不知道其他企业的选 择. 价格分别用p1和p2表示. ? 消费者对firm 1产品的需求量: ? q1(p1, p2) = a C p1 if p1 <

p2 ;

? = (a C p1)/2 if p1 = p2 ;

? =0, if p1 >

p2 . ? 消费者对firm 2产品的需求量: ? q2(p1, p2) = a C p2 if p2 <

p1 ;

= (a C p2)/2 if p1 = p2 ;

=0, ow. ? firm i生产数量为qi的成本是Ci(qi)=cqi. Game Theory--Chapter

1 105 Bertrand model of duopoly (homogeneous products) 标准式表述: ? 参与人集合: { Firm 1, Firm 2} ? 策略集: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) ? 收益函数: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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1 1 if

0 if

2 / ) )( ( if ) )( ( ) , ( if

0 if

2 / ) )( ( if ) )( ( ) , ( p p p p p a c p p p p a c p p p u p p p p p a c p p p p a c p p p u Game Theory--Chapter

1 106 Bertrand model of duopoly (homogeneous products) 最优反应函数: pm =( a + c )/2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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2 1 if if if if } : { if } : { ) ( if if if if } : { if } : { ) ( p p p p p p p c c p p p p c p p p p p B p p p p p p p c c p p p p c p p p p p B m m m m m m m m Game Theory--Chapter

1 107 Bertrand model of duopoly (homogeneous products) 最优反应函数: p1 p2 c c pm pm p1 p2 c c pm pm Firm 1'