PDF《1.2. Application》

s best response to Firm 2'

s p2 Firm 2'

s best response to Firm 1'

s p1 Game Theory--Chapter

1 108 Bertrand model of duopoly (homogeneous products) 最优反应函数: p1 p2 c c pm pm Nash Equilibrium ( c, c ) Game Theory--Chapter

1 109 The problems of commons ? 村庄里有n个农民. 每年夏天,所有村民都在村庄公共的 草地上放牧. ? 用gi 表示farmer i放养羊的头数. ? 购买和照看一只羊的成本为c, c不随一户村民拥有羊的 数目多少而变化. ? 每只羊的价值是v(G), 其中 G = g1 + g2 + ... + gn ? 草地可以放牧羊的总数有一个上限. 即, v(G)>

0 if G <

Gmax, and v(G)=0 if G ? Gmax. ? 假定v(G): v'

(G) <

0 and v (G) <

0. ? 每年春天, 所有的村民同时选择放养多少只羊. Game Theory--Chapter

1 110 The problems of commons 标准式表述: ? 参与人集合: { Farmer 1, ... Farmer n} ? 策略集: Si=[0, Gmax), for i=1, 2,..., n ? 收益函数: ui(g1, ..., gn)=gi v(g1 + ...+ gn) C c gi for i = 1, 2, ..., n. Game Theory--Chapter

1 111 The problems of commons ? 如何找到纳什均衡 ? 找到 (g1*, g2*, ..., gn*) ,其中 gi* 是farmer i对其他村民 选择的最优反应. ? 即, g1* 是以下问题的解 Max u1(g1, g2*, ..., gn*)= g1 v(g1 + g2* ...+ gn*) C c g1 subject to

0 ? g1 <

Gmax 而g2*是以下问题的解 Max u2(g1*, g2 , g3*, ..., gn*)= g2v(g1*+g2+g3*+ ...+ gn*)Ccg2 subject to

0 ? g2 <

Gmax ....... Game Theory--Chapter

1 112 The problems of commons ? 如何找到纳什均衡 ? gn*是以下问题的解 Max un(g1*, ..., gn-1*, gn)= gnv(g1*+...+ gn-1*+ gn)Ccgn subject to

0 ? gn <

Gmax ....... Game Theory--Chapter

1 113 The problems of commons ? FOCs:

0 ) * ... * ( ) * ... * (

0 *) ... * * ( *) ... * * (

0 *) ... * ( *) ... * (

1 1

1 1

3 2

1 2

3 2

1 2

1 1

2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c g g g v g g g g v c g g g g v g g g g g v c g g g v g g g g v n n n n n n n n n Game Theory--Chapter

1 114 The problems of commons ? 如何找到纳什均衡 ? (g1*, g2*, ..., gn*) 是一个纳什均衡,如果

0 *) * ... * ( *) * ... * (

0 *) ... * * * ( *) ... * * * (

0 *) ... * * ( *) ... * * (

1 1

1 1

3 2

1 2

3 2

1 2

1 1

2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c g g g v g g g g v c g g g g v g g g g g v c g g g v g g g g v n n n n n n n n n Game Theory--Chapter

1 115 The problems of commons ? 把所有n个村民的FOC加总,再除以n,得到 * ... * * * where

0 *) ( *

1 *) (

2 1 n g g g G c G v G n G v ? ? ? ? ? ? ? ? Game Theory--Chapter

1 116 The problems of commons ? 社会问题

0 *) * ( * * *) * ( satisfies * * solution optimal the Hence,

0 ) ( ) ( : FOC

0 s.t. ) ( Max max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c G v G G v G c G v G G v G G Gc G Gv Game Theory--Chapter

1 117 The problems of commons

1 0

0 * **? v G G v G c n v G G v G c G G ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明:参见课本P22-23. Game Theory--Chapter

1 118 The problems of commons ? 故事的寓意 ? 外部性和产权 ? 全局治理 ........