PPT《第十三章》

第十三章 矩阵代数复习

1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵.

若矩阵的元素排列为m 行和n列,称为m?n 阶矩阵. A = a a a a a a a a a n n m m mn

11 12

1 21

22 2

1 2 L L M O M L é ? ê ê ê ê ê ù ? ú ú ú ú ú

2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵,即m=n时,称为 n 阶方阵.

3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵,如: A = [ ] a a a a n

11 12

13 1 ? ? ? 由单列组成的矩阵称为列矩阵,如: A = a a a m

11 21

1 é ? ê ê ê ê ê ê ù ? ú ú ú ú ú ú

4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的1?1阶矩阵称为纯量.

5、矩阵乘法 两个规则: (1)两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘,即ABCplmplnmn???==当时才能相乘 A B = a a a a b b

11 12

21 22

11 21 é ? ê ù ? ú é ? ê ù ? ú 共形

2 *

2 2 *

1 B A= b b a a a a

11 21

11 12

21 22 é ? ê ù ? ú é ? ê ù ? ú 非 共形

2 *

1 2 *

2 (2)不具有交换律,即AB ? BA

6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换,所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵,如: A= a a a a a a

11 12

21 22

31 32 é ? ê ê ê ù ? ú ú ú 其转置矩阵为 A T = é ? ê ù ? ú a a a a a a

11 21

31 12

22 32 当连乘矩阵的乘积被转置时,等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积.若A=B C D 则AT=D T C T B T

7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵,用0表示. 若AB=0 , 但不一定 A=0 或B=0. 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵,即AI = A IA = A

10、逆矩阵 在矩阵运算中,没有矩阵的直接除法,除法运算由矩阵求逆来完成.例如,若AB = C 则B=A-1C此处 A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵. 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义: A A -

1 = A -

1 A = I 矩阵求逆时必须满足两个条件: (1)矩阵是一个方阵. (2)矩阵的行列式不为零,即矩阵是非奇异矩阵(行列式为零的矩阵称为奇异矩阵).

11、正交矩阵 若一方阵A 每一行(列)的各个元素平方之和等于1,而 所有的两个不同行(列)的对应元素乘积之和均为零,则称该矩阵为正交矩阵,则A=cos sin sin cos a a a a - é ? ê ù ? ú 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵,即A-1=AT§13-1 概述矩阵位移法的理论基础是传统的位移法,只是它的表达形式采用矩阵代数,而这种数学算法便于编制计算机程序,实现计算过程的程序化.

一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法;

矩阵位移法的两个基本步骤是 (1)结构的离散化;

(2)单元分析;

(3)整体分析, 任务 意义 单元分析 建立杆端力与杆端位移间的刚度方程,形成单元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆件的转角位移方程 整体分析 由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程,形成整体刚度矩阵 用矩阵形式表示位移法基本方程 指杆件除有弯曲变形外,还有轴向变形和剪切变形的单元,杆件两端各有三个位移分量,这是平面结构杆件单元的一般情况. 符号规则:图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标,局部座标的 座标与杆轴重合;

1 2 e E A I l (a) 图(b)表示的杆端位移均为正方向. 单元编号杆端编号局部座标

1 2 (b) 杆端位移编号

1 2 杆端力编号 (c)

二、杆端位移、杆端力的正负号规定 一般单元:

1 2

1 2 (1)单元杆端位移向量 (2)单元杆端力向量 凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的. 现在讨论单元刚度方程.单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程,可以用 表示,由位移求力称为正问题. 在单元两端加上人为控制的附加约束,使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移,然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力. e