PPT《第十三章》

1 2 e e e e e e 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响,分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程. §13-2 单元刚度矩阵(局部座标系) 进行单元分析,推导单元刚度方程和单元刚度矩阵.

一、一般单元 e e e e e e e 分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程. 首先,由两个杆端轴向位移 可推算出相应的杆端轴向力 e e e e e

1 2 其次,由杆端横向位移 可以用角变位移方程推导出相应的杆端 横向力 e e e e e e e 将上面六个方程合并,写成矩阵形式: EA l 6EI l2 6EI l2 EA l 12EI l3 12EI l3 4EI l 2EI l 上面的式子可以用矩阵符号记为 e e e e 这就是局部座标系中的单元刚度方程. e 可求单元杆端力 e e = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6)

0 0

0 0

0 0 6EI l2

0 6EI l2

0 -EA l -6EI l2 -6EI l2 EA l -12EI l3 12EI l3 2EI l 4EI l

0 0

0 0

0 0 -6EI l2

0 6EI l2

0 只与杆件本身性质有关而与外荷载无关 通过这个式子由单元杆端位移 局部座标系的单元刚度矩阵

二、单元刚度矩阵的性质 (1)单元刚度系数的意义 e ―代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量. 例如 代表单元杆端第2个位移分量 时所引起的第5个杆端力分量 的数值. (2)单元刚度矩阵 是对称矩阵, e 即.(3)一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵;

e 从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵 e 的行列式 e =0 因此它的逆矩阵不存在 从力学上的理解是,根据单元刚度方程 e e e e e e e 由 有一组力的解答(唯一的),即正问题. 由 如果 e 不是一组平衡力系则无解;

若是一组平衡力系,则解答不是唯一的,即反问题.

三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零,则该单元称为特殊单元,其刚度方程是一般单元刚度方程的特例. e 以连续梁为例:

1 2 e e e e

1 2 e e e e e e e e e 为了程序的标准化和通用性,不采用特殊单元,只用一般单元,如果结构有特殊单元,可以通过程序由一般单元来形成. ? §13-3 单元刚度矩阵(整体座标系) e x y X1 Y1 X2 Y2 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 座标转换矩阵 单元杆端力的转换式、单刚的转换式

一、单元座标转换矩阵 正交矩阵 [T]-1 =[T]T 或[T][T]T=[T]T [T] =[I] 于是可以有 同理可以有 e e e e e e ? ? (解决 与[k] 的关系) e e 在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为: e e e 在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为: (a) e e e {F} =[k] {?} (b) e {F} =[T]T [T] {?} e e (d) k [T] {F} = e [T] {?} (c) e k e [k] = [T]T k e [T] e (e) [k] e 的性质与 e k 一样.

二、整体座标系中的单元刚度矩阵 (a)式可转换为: 两边前乘[T]T 比较式(b)和(d)可得: 例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵[k] .设和杆的杆长和截面尺寸相同.

1 l = 5m l = 5m

2 x y l=5m,b?h=0.5m ?1m, A=0.5m2, I= m4,

1 24 解: (1) 局部座标系中的单元刚度矩阵 (2) 整体座标系中的单元刚度矩阵 e [k] k e 单元

1 :? = 0,[T] =[I] k

1 =

1 [k] 单元

2 :? = 90,单元 座标转换矩阵为

1 2 k = ? k ?

1 l = 5m l = 5m

2 x y 单元

2 :? = 90,单元座标转换矩阵为 [k] = [T]T k [T] §13-4 连续梁的整体刚度矩阵 按传统的位移法 i1 i2

1 2 ?1 4i1?1 2i1?1

0 i1 i2

1 2 ?2 2i1?2 2i2?2 (4i1+4i2)?2 i1 i2

1 2 ?3

0 2i2?3 4i2?3 每个结点位移对{F}的单独贡献 F1 F2 F3 4i1 2i1