PPT《第五章》

第五章 弯曲应力 目录§5-1 纯弯曲时梁的正应力 §5-2 横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 §5-3 梁的切应力及其强度条件 梁的合理截面 §5-1 纯弯曲时梁的正应力 请看一个实例: CD段: 剪力为零,弯矩为常量.

这种弯曲称为纯弯曲. AC、DB两段: 这种弯曲称为横力弯曲. 同时存在剪力和弯矩. 即:

1、表面变形情况: (1)两相邻横向线仍保持为直线,只是相对转动一个小角度. 纯弯曲时梁的正应力分析

一、变形几何方面 (2)纵向线变成弧线,仍垂直于 变形后的横向线,bb伸长,aa 缩短.

2、平面假设: 梁弯曲变形后,其原来的横截面仍保持为平面,只是相邻横截面绕某一轴相对转了一个小角度,且仍垂直于梁变形后的轴线. 中性层:靠近底部的纵向线伸长,靠近顶部的纵向线缩短,根据变形的连续性,中间必有一层纵向线既不伸长也不缩短. 中性轴:中性层与横截面的交线 轴,横截面就是绕中性轴转动的. 根据变形的对称性:中性层与纵向对称平面垂直,也就是说中性轴与对称轴垂直,即 求距中性层为 y 处的纤维 的线应变: 变形前:

3、纵向线应变的变化规律 即: 故r:中性层的曲率半径. 变形后:

二、物理关系 由于弯曲变形微小,可设各层纤维之间没有挤压,亦即可认为各纵向纤维处于单向应力状态.并设 当时故说明: 由于 未知,中性轴 位置未定,所以不能由 式 计算正应力

三、静力学条件 横截面上各法向微内力 构成空间平行力系,只能简化成三个内力分量 说明中性轴 过形心 由(1)式: (1) (2) (3) 由(2)式: 故上式自然满足. M 由(3)式: (5-1) (5-2) 其中:M:横截面上弯矩 y:所求点的坐标 Iz:横截面对中性轴的惯性矩 由静力学关系得到 由变形几何关系得到 由物理关系得到 综上分析,可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式: 推导过程简单总结:(三方面) (5)对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁,在应用上述 公式时,都带有一定的近似性. (2)应用公式时,通常M和y都用绝对值,所求点的应力 是拉应力还是压应力,可根据梁的变形情况直接判断. 几点说明(1)公式成立条件:材料在线弹性范围内,即(3) 由公式推导可知,公式不仅适用于矩形截面梁,而且还适用 于其它一些截面梁,如:圆截面梁、工字形截面梁、T字形 截面梁,等等. (4)由于y、z轴就是横截面的形心主轴,从而可得到启示:当横 截面没有对称轴时,只要外力偶作用在形心主轴之一(例如 y轴)所构成的纵向平面内,上述公式仍适用. 例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示.已知横截面对中性轴 的惯性矩Iz=5.33*106mm4.求跨中C截面上a、b、c点的弯 曲正应力. 解:首先作剪力图和弯矩图,由 图可知,AB段为纯弯曲. (拉) (压) (中性轴上) (上侧受拉) 例5-2: 悬臂梁如图所示,在其下面有一个半径为R的圆柱面,欲使梁弯曲后刚好与圆柱面贴合,但圆柱面不受力,问梁上该受什么荷载?大小等于多少?已知EIz为常量. l 解:由题意可得,梁弯曲后其轴线变成 圆弧线,即每个截面处的曲率半径 均为常量R,由曲率公式(5-1) §5-2 横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面 一.横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 由于τ的存在,横截面发生翘曲(§5-3).平面假设不成立,且还有沿y的挤压正应力. 由弹性力学结果表明,当l/h≥5时,用(5-2)式计算跨中截面的最大正应力,其误差≤1.07%.所以工程中仍用纯弯曲时的正应力公式,计算横力弯曲时的正应力.但要注意,横力弯曲时,弯矩是x的函数,所以 等截面梁 (5-3) (5-4) (5-5) Wz称为弯曲截面系数,单位:m3 则 几种常见截面的Wz 其中: 正应力强度条件:(等直梁)由于σmax 发生在|Mmax|横截面的上、下边缘处,而该处的τ=0 或很小(§5-3),且不计挤压应力,σmax 点处于单向应力状态. (5-6) 即 材料的弯曲许用正应力 塑性材料: 脆性材料: 拉、压强度不等,应近似地分别用材料的许用拉应力和许用压应力来代替材料的弯曲许用拉、压应力. 脆性材料: 例5-3 材料为红松,按正应力强度条件选择b和h 解:作弯矩图,如图所示 由 采用 B A C D 1m 1m 1m 已知:Iz=5.493*107mm4,铸铁[σt]=30MPa, [σc]=90MPa . 例5-4 试确定此梁的许用荷载F. 解:设F的单位为kN.